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1、6《计算机数学基础》离散数学辅导(3)¾¾第3章集合论(2002级用)中央电大冯泰本章重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明，笛卡儿积.一、重点内容1.集合的概念h集合与元素，具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.集合A中元素的个数为集合的元数½A½.h集合的表示方法：列举法和描述法.列举集合的元素，元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分.集合与其元素之间存在属于“Δ或不属于“Ï”关系.2.集合的关系：包含，子集，集合相等.h包含(子集)，若，则B包含A(或A包含于B)，称A是B的子集，记，又A
2、¹B，则A是B的真子集，记AÌB.h集合相等，若AÍB，BÍA，则A＝B.注意：元素与集合,集合与子集，子集与幂集，Î与Ì(Í)，空集Æ与所有集合等的关系.3.特殊集合：全集、空集和幂集.h全集合E，在一个具体问题中，所涉及的集合都是某个集合的子集，该集合为全集.h空集Æ，不含任何元素的集合为空集.空集是惟一的，它是任何集合的子集.h集合A的幂集P(A)，集合A的所有子集构成的集合P(A)=.若½A½＝n,则½P(A)½=2n.4.集合的运算h集合A和B的并AÈB，由集合A和B的所有元素组成的集合.h集合A和B的交AÇB，由集合A
3、和B的公共元素组成的集合.h集合A的补集~A，属于E但不属于集合A的元素组成的集合，~A.补集总相对于一个全集.h集合A与B的差集A－B，由属于A，而不属于B的所有元素组成的集合..h集合A与B的对称差AÅB，AÅB＝(A－B)È(B－A)或AÅB＝）AÈB〕－（AÇB）应该很好地掌握10条运算律(运算的性质)(教材P71～72)，即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等.5.恒等式证明集合运算部分有三个方面的问题：其一是进行集合的运算；其二是集合运算式的化简；其三是集合恒等式的推理证明.集
4、合恒等式的证明方法通常有二：(1)要证明A＝B，只需要证明AÍB，又AÊB；(2)通过运算律进行等式推导.6.有序对与笛卡儿积h有序对，就是有顺序的数组，如，x,y的位置是确定的，不能随意放置.注意：有序对¹，以a,b为元素的集合{a,b}={b,a}；有序对(a,a)有意义，而集合{a,a}是单元素集合，应记作{a}.h笛卡儿积，把集合A，B合成集合A×B，规定A×B＝{½xÎAÙyÎB}由于有序对中x,y的位置是确定的，因此A×B的记法也是确定的，不能写成B×A.6笛卡儿积也可
5、以多个集合合成，A1×A2×…×An.笛卡儿积的运算性质.一般不能交换.二、实例例3.1已知S＝{2,a,{3},4},R={{a},3,4,1},指出下列命题的真值.(1){a}ÎS;(2){a}ÎR;(3){a,4,{3}}ÍS;(4){{a},1,3,4}ÍR;(5)R=S;(6){a}ÍS(7){a}ÍR(8)ÆÌR(9)ÆÍ{{a}}ÍR(10){Æ}ÍS(11)ÆÎR(12)ÆÍ{{3},4}解集合S有四个元素：2，a，{3}，4，而元素{3}又是集合.集合R类似.(1){a}，这是单元素的集合，{a}不是集合S的元素
6、.故命题“{a}ÎS”的真值为0.(2){a}是R的元素，故命题“{a}ÎR”的真值为1.(3)a,4,{3}都是S的元素,以此为元素构成S的子集.故命题“{a,4,{3}}ÍS”的真值为1.(4){a},1,3,4都是R的元素，构成R的子集，故命题“{{a},1,3,4}ÍR”的真值为1.(6),(8)，(9)和(12)题号的命题真值为1；而(5),(7),(10)题号命题真值为0。例3.2设A＝{=,Î,Ï,Ì,É}选择适当的符号填在各小题的横线上.(1)(1,2,3,4)N;(2)(3)(4)(5)(6){正方形}{菱形}{
7、四边形}(7){(1,2,3)}{1,2,3,{(1,2,3)}}解(1)Ì(2)Ï,É(3)Ì,=(4)Ì(5)Î或Ì(6)ÌÌ(7)Î例3.3写出下列集合的子集：(1)A={a，{b}，c}；(2)B={Æ}；(3)C=Æ解(1)因为Æ是任何集合的子集，所以Æ是集合A的子集；由A的任何一个元素构成的集合，都是A的子集，所以{a}，{{b}}，{c}是A的子集；由A的任何两个元素构成的集合，也是A的子集，有{a，{b}}，{{b},{c}}，{a,c}；同理，A的三个元素构成的集合，也是A的子集，于是集合A的所有子集为：Æ，{a
8、}，{{b}}，{c}，{a，{b}}，{{b},c}，{a,c}，{a，{b}，c}=A(2)分析同(1)，B的子集有：Æ，{Æ}.(3)因为Æ是任何集合的子集，故Æ也是C的子集.因为C中没有元素，因此C就没有其它子集，所以C的子集只有：Æ说明：
