第1章 集合论

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1、离散数学电子科技大学计算机科学与工程学院示范性软件学院14七月2021第一篇预备知识第一章集合论1.0内容提要集合的概念1集合的表示方法2集合间的关系3集合的运算4无限集合5集合的概念1集合的表示方法2特殊集合51.1本章学习要求重点掌握一般掌握了解11集合的概念及集合间关系2集合的表示3集合运算及定律4幂集P(A)31集合的递归指定法表示2了解无限集的基本概念21集合的归纳法表示2集合的对称差运算1.2集合一、集合的概念集合（SET）由指定范围内的某些特定对象聚集在一起构成。指定范围内的每一个对象称为这个集合的元素(el

2、ement)中国所有真皮沙发的聚集指定范围特定对象二、集合的记法通常用带(不带)标号的大写字母A、B、C、...、A1、B1、C1、...、X、Y、Z、...表示集合；通常用带（不带）标号的小写字母a、b、c、...、a1、b1、c1、...、x、y、z、...表示元素。固定的符号0,1,2,…自然数集合N…,-2,-1,0,1,2,…整数集合Zp/q,p,q是整数，且q≠0有理数集合Q实数集合R复数集合C1.2.1集合的表示方法集合是由它包含的元素完全确定的，为了表示一个集合，通常有：枚举法隐式法（叙述法）归纳法递归指定

3、文氏图1、枚举法（显示法）--列出集合中全部元素或部分元素的方法叫枚举法例1.2.1（1）A＝{a，b，c，d}（2）B={0,1,4,9,16,…,n2,…}适用场景：一个集合仅含有限个元素一个集合的元素之间有明显关系枚举法的优缺点是一种显式表示法优点：具有透明性缺点：在表示具有某种特性的集合或集合中元素过多时受到了一定的局限，而且，从计算机的角度看，显式法是一种“静态”表示法，如果一下子将这么多的“数据”输入到计算机中去，那将占据大量的“内存”。2、隐式法（叙述法）通过刻画集合中元素所具备的某种特性来表示集合的方法称为

4、叙述法（隐式法）一般表示方法：P＝{x

5、P(x)}适用场景：一个集合含有很多或无穷多个元素；一个集合的元素之间有容易刻画的共同特征其突出优点是原则上不要求列出集合中全部元素，而只要给出该集合中元素的特性。代表元X所具有的性质p例1.2.2（1）A={x

6、x是“discretemathematics”中的所有字母}；（2）Z={x

7、x是一个整数}；（3）S={x

8、x是整数，并且x2＋1=0}；（4）Q+={x

9、x是一个正有理数}。3、归纳法归纳法是通过归纳定义集合，主要由三部分组成：第一部分：基础。指出某些最基本的元素属于某

10、集合；第二部分：归纳。指出由基本元素造出新元素的方法；第三部分：极小性。指出该集合的界限。注意：第一部分和第二部分指出一个集合至少包括的元素，第三部分指出一个集合至多要包含的元素例1.2.3集合A按如下方式定义：（1）0和1都是A中的元素；（2）如果a,b是A中的元素，则ab,ba也是A中的元素；（3）有限次使用(1)、(2)后所得到的字符串都是A中的元素。试指出其定义方式。并举出集合A中的3个元素4、递归指定集合通过计算规则定义集合中的元素例1.2.4设a0＝1，ai+1＝2ai（i0）定义S＝{a0，a1，a2，..

11、.}＝{ak

12、k0}，试写出集合S中的所有元素。5、文氏图解法文氏图解法是一种利用平面上点的集合作成的对集合的图解。一般用平面上的圆形或方形表示一个集合。AA1.2.2集合与元素的关系元素与集合之间的“属于关系”是“明确”的。对某个集合A和元素a来说，a属于集合A，记为aA或者a不属于集合A，记为aA两者必居其一且仅居其一。例如，对元素2和N，就有2属于N，即2N，对元素-2和N，就有-2不属于N，即-2N。罗素悖论——对数学根基的冲击例在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只有一位理发师，该理发师专给那些并且

13、只给那些自己不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？解：设C＝{x

14、x是不给自己刮脸的人}b是这位理发师如bC，则bC；如bC，则bC。1.2.3集合与集合的关系1、互异性：集合中的元素都是不同的，凡是相同的元素，均视为同一个元素；{1,1,2}={1,2}2、确定性：能够明确加以“区分的”对象；3、无序性：集合中的元素是没有顺序的。{2,1}={1,2}一、集合的三大特征例1.2.5设E={x

15、(x-1)(x-2)(x-3)=0},x∈R}F={x

16、(x∈Z+)且(x2＜12)}。试指出集合E和F中的元素。解集

17、合E={1,2,3}，F={1,2,3}。显然，集合E,F中的元素完全相同，我们称这样的两个集合相等二、外延性原理A＝B当且仅当A与B具有相同的元素，否则，AB。例1.2.6设A={BASIC,PASCAL,C}，B={C,BASIC,PASCAL}，请判断A和B的关系。解根据集合元素的无序性和外延性