高三数学教案：平面向量与圆锥曲线的综合问题.pdf

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1、平面向量与圆锥曲线的综合问题2x2例1已知F1、F2分别是椭圆y1的左、右焦点.4uuuruuuur5（Ⅰ）若P是第一象限内该数轴上的一点，PF1?PF2，求点P的作标；4（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．（Ⅰ）易知a2，b1，c3．∴F1(3,0)，F2(3,0)．设P(x,y)(x0,y0)．则uuuruuuur2225x2PF1PF2(3x,y)(3x,y)xy3，又y1，4

2、42272xyx1x143联立，解得，P(1,)．2233x2yy2y1424（Ⅱ）显然x0不满足题设条件．可设l的方程为ykx2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)．2x2y12222联立4x4(kx2)4(14k)x16kx120ykx21216k22∴x1x22，x1x22由(16k)4(14k)12014k14k2222316k3(14k)0，4k30，得k．①又AOB为锐角4uuuruuuruuuruuurcosAOB0OAOB0，∴OAOBx1x2y1y202又y1y2(kx12)(kx22)kx1x22k(x1x2)42∴x1x2y1y2(1k)x1x22

3、k(x1x2)421216k(1k)2k()42214k14k2212(1k)2k16k4(4k)1240∴k4．②22214k14k14k4第-1-页共7页3233综①②可知k4，∴k的取值范围是(2,)U(,2)4222例2已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）（I）求圆C的方程；22（II）设圆M的方程为(x47cos)(y7cos)1，过圆M上任意一点P分别作uuuruuur圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE?CF的最大值和最小值．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知

4、识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．22yy12（I）解法一：设A，B两点坐标分别为，y1，，y2，由题设知222222222y12y12y1y22y2y2(y1y2)．222222解得y1y212，所以A(6，23)，B(6，23)或A(6，23)，B(6，23)．222设圆心C的坐标为(r，0)，则r64，所以圆C的方程为(x4)y163解法二：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题设知22222222x1y1x2y2．又因为y12x1，y22x2，可得x12x1x22x2．即(x1x2)(x1x22)0．由x10，x20，可知

5、x1x2，故A，B两点关于x轴对称，33所以圆心C在x轴上．设C点的坐标为(r，0)，则A点坐标为r，r，于是有2223322r2r，解得r4，所以圆C的方程为(x4)y16．22uuuruuuruuuruuur2（II）解：设ECF2a，则CEgCF

6、CE

7、g

8、CF

9、gcos216cos232cos16．x4在Rt△PCE中，cos，由圆的几何性质得

10、PC

11、

12、PC

13、12

14、PC

15、≤

16、MC

17、1718，

18、PC

19、≥

20、MC

21、1716，所以≤cos≤，由此可23得第-2-页共7页uuuruuuruuuruuur16168≤CEgCF≤．则CEgCF的最大值为，最小值为8．99例3已

22、知F(1，0)，直线l:x1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，uuuruuuruuuruuur且QP?QFFP?FQ．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于uuuruuuruuuruuurA，B两点，交直线l于点M．（1）已知MA1AF，MB2BF，求12的值；（2）uuuruuur求MAMB的最小值．yuuuruuuruuuruuur解法一：（Ⅰ）设点P(x，y)，则Q(1，y)，由QPgQFFPgFQ得：PQB2(x1，0)g(2，y)(x1，y)g(2，y)，化简得C:y4x．（Ⅱ）（1）设直线AB的方程为：OFxA2xmy1(m

23、0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M1，，Mm2y4x，22联立方程组，消去x得：y4my40，(4m)120，xmy1，y1y24m，uuuruuuruuuruuur22由，MA1AFMB2BF得：y11y1y22y2y1y24．mm222112y1y2整理得：11211222gmy1my2my1y2my1y224m2g0m4uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解法二：（Ⅰ）由QPgQFFPgFQ得：FQg(PQPF)0，(PQPF)g(PQPF)0uuur2u