高三数学教案：平面向量与圆锥曲线的综合问题.docx

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1、平面向量与圆锥曲线的综合问题例1已知F1、F2分别是椭圆x2y21的左、右焦点.4uuuruuuur5，求点P的作标；（Ⅰ）若P是第一象限内该数轴上的一点，PF1?PF24（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．（Ⅰ）易知a2，b1，c3．∴F1(3,0)，F2(3,0)．设P(x,y)(x0,y0)．则uuuruuuur2y25，又x2y2PF1PF2(3x,

2、y)(3x,y)x31，44x2y27x21x13)．联立x24，解得y233，P(1,y21y2442（Ⅱ）显然x0不满足题设条件．可设l的方程为ykx2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)．x2y21x24(kx2)24(14k2)x216kx120联立4ykx2∴x1x2112，x1x2116k由(16k)24(14k2)1204k24k2316k23(14k2)0，4k230，得k2．①又AOB为锐角uuuruuuruuuruuur4cosAOB0OAOB0，∴OAOBx1x2y1y20又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k

3、(x1x2)4∴x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)122k(116k)414k24k212(1k2)2k16k44(4k2)0∴1k24．②14k214k214k24第-1-页共7页综①②可知3k24，∴k的取值范围是(2,3)U(3,2)422例2已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y22x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）（I）求圆C的方程；（II）设圆M的方程为(x47cos)2(y7cos)21，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线uuuruuurPE，PF，切点为E，F，求CE?C

4、F的最大值和最小值．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．（I）解法一：设A，B两点坐标分别为y2，y1y21，2，y2，由题设知22y122y122y12y222y22y22(y1y2)2．2222解得y12y2212，所以A(6，23)，B(6，23)或A(6，23)，B(6，23)．设圆心C的坐标为(r，0)，则r264，所以圆C的方程为(x4)2y2163解法二：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题设知x12y12x22y22．又因为y122

5、x1，y222x2，可得x122x1x222x2．即(x1x2)(x1x22)0．由x10，x20，可知x1x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上．设C点的坐标为(r，0)，则A点坐标为3r，3r，于是有22323r2r，解得r4，所以圆C的方程为(x4)2y216．22ECF2auuuruuuruuuruuur2（II）解：设，则CECF

6、CE

7、

8、CF

9、cos216cos232cos16．ggg在Rt△PCE中，cosx4，由圆的几何性质得

10、PC

11、

12、PC

13、

14、PC

15、≤

16、MC

17、1718，

18、PC

19、≥

20、MC

21、1716，所以1≤cos≤2，由

22、此可23得第-2-页共7页uuuruuuruuuruuur16，最小8．8≤CEgCF≤16．CEgCF的最大99例3已知F(1，0)，直l:x1，P平面上的点，点P作l的垂，垂足点Q，uuuruuuruuuruuurF的直交迹C于且QP?QFFP?FQ．（Ⅰ）求点P的迹C的方程；（Ⅱ）点uuuruuuruuuruuurA，B两点，交直l于点M．（1）已知MA1AF，MB2BF，求12的；（2）uuuruuur求MAMB的最小．yuuuruuuruuuruuur解法一：（Ⅰ）点P(x，y)，Q(1，y)，由QPQFFPFQ得：ggQPB2，y)，

23、化得C:y24x．(x1，0)g(2，y)(x1，y)g(（Ⅱ）（1）直AB的方程：OFx1，2Axmy1(m0)．A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M，Mmy2，4my40，(4m)2120，立方程4x，消去x得：y2xmy，1y1y2，uuuruuuruuuruuur224m由，MA1AFMB2BF得：y11y1y22y2y1y2．mm4整理得：11221212221122gy1y2my1my2my1y2my1y222g4m0m4uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解法二：（Ⅰ）由QPQ

24、FFPFQ得：FQg(PQPF)0，(PQPF)g(PQPF)0gguuur2uuur20uuuruuurPQPFPQPF所以点P的迹C