高三数学教案：极限的概念.pdf

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1、极限的概念（4月27日）教学目的：理解数列和函数极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；教学难点：数列和函数极限的理解教学过程：一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n天剩余的木棒长度an(尺)，并分析变化趋势；（2）求前n天截下的木棒的总长度bn(尺)，并分析变化趋势。观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n无限增大时，数列的项an无限趋近于某个常数A（即anA无限趋近于0）。an无限趋近于常数A，意指“an可以任意

2、地靠近A，希望它有多近就有多近，只要n充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点an到A的距离anA可以任意小。二、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于．．．．．某个常数A（即anA无限趋近于0），那么就说数列{an}的极限是A，记作limanAn注：①上式读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于A”。“n∞”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思。limanA有时也记作当n∞时，anAn②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________③思考：是否

3、所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由111123n（1）1，，，⋯，，⋯；（2），，，⋯，，⋯；23n234n1n（3）－2，－2，－2，⋯，－2，⋯；（4）－0.1，0.01，－0.001，⋯，(0.1)，⋯；n（5）－1,1，－1，⋯，(1)，⋯；第1页共4页注：几个重要极限：1（1）lim0（2）limCC（C是常数）nnnnn（3）无穷等比数列{q}（q1）的极限是0，即：limq0(q1)n2、当x时函数的极限1（1）画出函数y的图像，观察当自变量x取正值且无限增大时，函数值的变化情况：x1函数值无限趋近于0，这时就说，当x

4、趋向于正无穷大时，函数yyx1的极限是0，记作：lim0xx一般地，当自变量x取正值且无限增大时，如果函数xOyf(x)的值无限趋近于一个常数A，就说当x趋向于正无穷大时，函数yf(x)的极限是A，记作：limf(x)Ax也可以记作，当x时，f(x)A1（2）从图中还可以看出，当自变量x取负值而x无限增大时，函数y的值无限趋x11近于0，这时就说，当x趋向于负无穷大时，函数y的极限是0，记作：lim0xxx一般地，当自变量x取负值而x无限增大时，如果函数yf(x)的值无限趋近于一个常数A，就说当x趋向于负无穷大时，函数yf(x)的极限是A，记作：limf(x)Ax也可以记作，当x时，

5、f(x)A1（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x的绝对值无限增大时，函数y的值都无限x11趋近于0，这时就说，当x趋向于无穷大时，函数y的极限是0，记作lim0xxx一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函数yf(x)的值无限趋近于一个常数A，就说当x趋向于无穷大时，函数yf(x)的极限是A，记作：limf(x)Ax也可以记作，当x时，f(x)A特例：对于函数f(x)C（C是常数），当自变量x的绝对值无限增大时，函数f(x)C的值保持不变，所以当x趋向于无穷大时，函数f(x)C的极限就是C，即limCCx第2页共4页例2：判断下列函数的极限：1xx（1）lim()（2）lim1

6、0x2x1（3）lim（4）lim42xxx三、课堂小结1、数列的极限2、当x时函数的极限四、练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限111（1）1，，，⋯，，⋯；（2）7，7，7，⋯，7，⋯；249nn111(1)（3）,,,,,；n2482（4）2，4，6，8，⋯，2n，⋯；1（5）0.1，0.01，0.001，⋯，，⋯；n10121（6）0，,,⋯，1，⋯；23n111n11（7）,,,⋯，(1)，⋯；234n12149n（8）,,,⋯，，⋯；5555n（9）－2,0，－2，⋯，(1)1,⋯，2、判断下列函数的极限：xx（1）lim0.4（2）lim1.2xx1（3

7、）lim(1)（4）lim4xxx1x5x（5）lim()（6）lim()x10x41（7）lim（8）lim52xx1x补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平P面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：MN⊥AB；N第3页共4页ADMBC（2）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ，能否确定θ，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线？若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。第4页共4页