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1、1.1变化率与导数(三课时)1.1.1变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题的快慢程度．变化率问题问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的
2、平均膨胀率为显然0.62>0.16随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto请计算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速
3、度描述运动员的运动状态有什么问题吗?平均变化率定义:若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)则平均变化率为这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2上述问题中的变化率可用式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率1、式子中△x、△y的值可正、可负，但△x的值不能为0，△y的值可以为02、若函数f(x)为常函数时，△y=0理解3、变式:观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?思考xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)小结
4、：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率例(1)计算函数f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；(2)求函数f(x)=x2+1的平均变化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4△x=-1-(-3)=2(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)2练习3.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A.3B.3Δx-(Δx)
5、2C.3-(Δx)2D.3-ΔxDA1.1.2导数的概念一、复习1.平均变化率:平均变化率的几何意义:割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y理解：1，式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y的值可以为02，若函数f(x)为常函数时，△y=03,变式求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率二．新课讲授1．瞬时速度△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△
6、t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?探究:1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即由导数的意义可知,
7、求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:一差、二比、三极限例1.求y=x2在点x=1处的导数．解：f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算x=2时的导数.根据导数的定义,所以,练习二、函数的导数：函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。1.1
8、.3导数的几何意义一、复习1、导数的定义其中：⑴其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。其几何意义是？PQoxyy=f(x)割线切线T1、曲线上一点的切线的定义结论:当Q点无限逼近P点时,此时直线PQ就是P点处的切线PT.点P处的割线与切线存在什么关系？新授xoyy=f(x)设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点P(x0,y0)及邻近一点Q(x0+△x,y0+△y),过P
