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1、3.1变化率与导数为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数.随着对函数的研究的不断深化，在十七世纪中叶产生了微积分，它是数学史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二、求曲线的切线；三、求函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等.几百年中，科学家们对这些问题的兴趣与研究经久不衰.终于，在十七世纪中叶，牛顿和
2、莱布尼兹在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分.（1646.7.1—1716.11.14）（1643.1.4—1727.3.31）牛顿、莱布尼兹发明微积分：自笛卡儿创立解析几何之后，变量进入数学。下一个划时代的数学成就便是微积分的诞生。费尔玛是最早应用了微分学方法的一位学者。1629年，他在《求最大值最小值的方法》一文中，用一个例子说明他的方法。问题是：已知一条线段，要求出其上一点，使被该点分成的直线段的两部分，所构成的矩形面积最大。他设线段长为B，一部分为A，另一部分为B-A，矩形
3、面积为AB-A2,然后用A+E代A,令一部分为B-A-E,矩形面积遂成为（A+E）(B-A-E).费尔玛认为，当A的长度恰为最大值时，这两个值应相等（运用了几何观察），即（A+E）(B-A-E)＝AB-A2。这可整理为BE-2AE-E2=0,约去E，得B＝2A＋E，略去E，得B=2A。这就是说正方形将获得最大面积。这一想法，与微分学的想法非常接近。英国数学家巴罗，是牛顿的老师。他提出用微分三角形来求切线，其基本思想和费尔玛差不多，也是先将x扩充为x+,然后带入函数，最后再略去。积分学的工作，由求面积开始。阿基米德就求过抛物线下
4、的弓形面积。刘徽的割圆术，也是同一思想。更有系统的工作的由开普勒，把曲边形看边数无限增大的直线形，圆的面积就是无穷多个三角形的面积之和。意大利数学家卡瓦列里把曲线看成无限多条线段拼成的。这些，都为微积分学的诞生做了思想上的准备。牛顿关于微积分的手稿表明，他在1665年已经用“0”表示无限小增量，求出瞬时变化率。后来，牛顿把变量x称为流量，x的瞬时变化率称为流数，整个微积分学就称为流数术。1687年牛顿发表了他的巨著《自然哲学的数学原理》，该书是第一本公开载有牛顿微积分思想的书。他的第一部关于微积分的专著《运用无穷多项的分析学》
5、发表在1669年。莱布尼兹在1675年到1676年间发明了无穷小算法。他通过几何上求曲线切线的研究得到一般的微分理论。把切线斜率看成是无限小增量dy和dx之比。他引用符号表示变量的求和过程，并看到d和是互逆的运算。1676年，他给出了一般性的法则：牛顿从力学着眼，考虑变量的运动速度——流数。莱布尼兹则从几何上入手，偏重运算法则的探讨。他发明的符号d和一直沿用至今。牛顿、莱布尼兹超越前人的贡献，不是在于发现求切线和求面积的具体方法，而是给出了一般的无穷小算法，同时又找出了微分和积分之间的互逆关系。这一深刻的思想，已成为人类文明中
6、的瑰宝。导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.本章我们将利用丰富的背景与大量实例，学习导数的基本概念与思想方法.问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况
7、？我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto请计算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10平均变化率定义:若设Δ
8、x=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)则平均变化率为这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率1、式子中△x、△y的值可正、可负，但△x的值不能为
