《变化率与导数》PPT课件

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1、1.1.1变化率问题甲和乙投入相同资金经营同一商品，甲用1年时间挣到2万元，乙用5个月时间挣到1万元。从这样的数据看来，甲、乙两人谁的经营成果更好？情境一：情境二：如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水，3分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则下面两个图象哪一个可以表示上述函数？Ot/mh/cmA1310Ot/mh/cmB1031MNMN如何用数学模型刻画变量变化的快与慢？就成为一个有待研究的数学问题.变化率问题探究（一）：气球的膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?设气球的体积为V

2、（单位：L），某一时刻的半径为r（单位：dm）.1、气球的体积V与半径r的函数关系是什么？2、如果将半径r表示为体积V的函数，则该函数的解析式是什么？4、当空气容量V从1增加到2时，气球的半径增加了多少？r(2)－r(1)≈0.16(dm)，3、当空气容量V从0增加到1时，气球的半径增加了多少？r(1)－r(0)≈0.62(dm)，显然0.62>0.165、随着气球体积逐渐增大，气球的平均膨胀率如何变化？平均膨胀率逐渐变小.6.当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?探究（二）：高台跳水的平均速度1、运动员在0s到0.5s时段内的平均速度为多少？在高台跳水运动中，运动员相

3、对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.2、运动员在1s到2s时段内的平均速度为多少？，运动员在该时段内是运动的。平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。3、如何计算运动员在0s到s时段内的平均速度？运动员在该时段内是静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?4、一般地，运动员在t1s到t2s时段内的平均速度如何计算？5、在单位时段内，运动员的平均速度如何变化？平均速度逐渐增大.探究（三）：平均变化率1、如果将上述两个问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么平均膨胀率和

4、平均速度可用什么代数式表示？令△x=x2–x1,△y=f(x2)–f(x1),则平均变化率可以表示为(2)△x、△y的值可正、可负，但△x≠0，当△y＝0时，平均变化率为零.若函数f(x)为常函数时，△y=0(3)△x是自变量的增加值，△y是对应的函数值增量.函数f(x)从x0到x0＋△x的平均变化率.2.代数式表示的含义是什么？直线AB的斜率AB连结点A（x1，f(x1)）和B（x2，f(x2)）的直线的斜率.已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g(x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率．例1解：①∵Δx＝－1－(－3)＝2，Δy＝f(－

5、1)－f(－3)＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝6，∴＝3，即f(x)在－3到－1之间的平均变化率为3.∵Δx＝－1－(－3)＝2，Δy＝g(－1)－g(－3)＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，∴＝－8，即g(x)在－3到－1之间的平均变化率为－8.已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g(x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率．②∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)＝3·Δx，即f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为3∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)＝[2×(1＋

6、Δx)2＋1]－(2×12＋1)＝4·Δx＋2·(Δx)2，即g(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为4＋2Δx已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g(x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率．B2.求函数y＝x2－2x＋1在x＝2附近的平均变化率．练习：1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A3B3Δx-(Δx)2C3-(Δx)2D3-ΔxD2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+Δx做两个题吧!1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)

7、求自变量的增量△x=x2–x1(2)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);(3)计算平均变化率小结3.自变量增量△x的值可以是正数，也可以是负数，但△x≠0；函数值增量△y可以为任意实数，当△y＝0时，平均变化率为零.作业：练习册1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求自变量的增量△x=x2–x1(2)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);(3)计算平均变化率小结3.自变量增量△x的值可以是正数，也可以是负数，但△x≠