常见不等式的解法归纳总结.doc

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1、常见不等式的解法归纳总结知识点精讲一．一元一次不等式（）（1）若，解集为.(2)若，解集为（3）若，当时，解集为；当时，解集为二、一元一次不等式组（）（1），解集为.（2），解集为（3），解集为（4），解集为记忆口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大解不了。三、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上.（2）①若，解集为.②若，解集为.③若，解集为.(2)当时，二次函数图象开口向下.①若，解集为②若，解集为四、简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.例如，解一元高次不等式（1）将

2、最高次项系数化为正数（2）将分解为若干个一次因式或二次不可分因式（）（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶切”）.（4）根据曲线显现出的的值的符号变化规律写出不等式的解集.如：求不等式的解集.解：化原不等式为如图7-2所示，在数轴上标出各个根，然后据理画出曲线（，，为奇次根，需穿；为偶次根，需切）由图7-2可知，所求不等式的解集为.图7-2五、分式不等式（1），（2）（3），（4）六、绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解题型归

3、纳及思路提醒题型1不等式的解法思路提示解有理不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集、含参数的根需对参数分类讨论后再写解集例7.14（1）解关于的不等式（2）已知集合，，若，求实数的取值范围.分析由于含参不等式中，其原方程的两根大小不确定，故要进行分类讨论.解析由已知得①当，得时，解集为②当，得，当时，解集为；当时，解集为③当，得时，解集为（2），即，.图7-3①若，即，则（等号不能同时取得）（如图7-3所示），得，此时无解.②若，即，由，则（等号不能同时取得）（如图7-4所示），故图7-4综上所述，实数的取值范围是.评注本题考查一元二次不等式（含

4、参）的解法，需要讨论两根的大小，进而确定不等式的解.变式1（1）若，则关于的不等式的解集为（）（2）若不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围（）例7.15已知关于的等式的解集为，求关于的不等式的解集.分析解法一：由关于的不等式的解集为，得，，，，则，得，（，关于的不等式可变形为，故解集为.解法二：因为方程与方程的根互为相反数，若不等式的解集为，所以，且方程的两根为，因此方程两根，不等式的解集为变式1已知=，则关于的不等式的解集为例7.16已知，则使得（）都成立的的取值范围是（）解析由，得，即得，又，则，不等式均成立，且，故，故选B变式1若关于的不等式的解集中整数恰好有3个，则

5、实数的取值范围是变式2设，若关于的不等式的解集中整数恰好有3个，则（）例7.17解下列不等式（1）（2）（3）分析利用“穿根法”的基本步骤求解.解析（1）化原不等式为，如图7-5所示，在数轴上标出各个根，然后据理画出曲线.为奇次根，需穿，可知所求不等式的解集为.图7-5（2）化原不等式为如图7-6所示，在数轴上标出各个根，然后画出曲线，为奇次根，需穿，为偶次根，需切，可知所求不等式的解集为：图7-6（3）化原不等式为如图7-7所示，在数轴上标出各个根，然后画出曲线，为奇次根，需穿，为偶次根，需切，可知所求不等式的解集为：图7-7变式1不等式的解集为（）变式2不等式的解集为（）例

6、7.18不等式的解集为（）分析将分式不等式转化为整式不等式解析由得解得.故选A变式1不等式的解集是变式2不等式的解集是（）变式3若，则的解集为（）题型2绝对值不等式的解法思路提示求解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，而去掉绝对值符号的方法有等价转换法、零点分段法和数形结合法等.例7.19若不等式的解集为，则实数=分析利用绝对值不等式的解法求解解析因为，所以得，又不等式的解集为，得.变式1若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是例7.20（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.（2）若不等式的解集在上不是空集，求实数的取值范围分析若对于一切实数恒成立，

7、只需满足即可；若的解集在上非空，只要即可.解析（1）不等式对一切实数恒成立.由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到3和4距离之和，那么对任意恒成立，利用三角不等式可得，故，又，故，所以实数的取值范围是（2）由题意可知只需即可，而，所以，所以实数的取值范围是评注绝对值的几何意义对于求解含参数的绝对值不等式参数的范围有着化繁为简的作用，体现了数形结合的思想在求解含参不等式方面的应用.变式1（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.最有效训