含绝对值的不等式解法(总结归纳)

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1、含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法　　[教材分析] 

2、x

3、的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以

4、x

5、0)的解集是{x

6、-a

7、x

8、>a(a>0)的解集是{x

9、x>a或x<-a}。把不等式

10、x

11、

12、x

13、>a(a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到

14、ax+b

15、

16、ax+b

17、>c(c>0)型的不等式的解法。 　　一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+

18、bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解。而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。 　　求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。 　　x2+3x-4<0  (x+4)(x-1)<0 或  或  -4

19、-4

20、　　x2+3x-4<0  (x+)2<  

21、x+

22、<  -

23、-4

24、ax-2

25、<4，其中a∈R。 　　[分析与解答]：

26、ax-2

27、<4属于

28、x

29、0)型。∴-40时，-x>, 　　当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R。 　　故a>0时不等式解集是{x

30、-

31、

32、，a=0时不等式解集是R。 　　例2．解不等式

33、x-3

34、-

35、2x+3

36、≥2。 　　[分析与解答] 去掉绝对值需要确定绝对值内代数式的值的符号，符号的正与负是以0为分界点，所以x=3和x=-是绝对值内两个代数式值的符号的分界点。用3和-将全体实数划分成三个区间，则在每一个区间上都可确定去掉绝对值的结论，由此分情况求解。 　　(1)  　 -4≤x<-。 　　(2)    -≤x≤-。 　　(3)。 　　综上，原不等式的解集为{x

37、-4≤x<-}∪{x

38、-≤x≤-}={x

39、-4≤x≤-}。 　　例3．解关于x的不

40、等式x2+(2-a)x-2a<0,其中a∈R。 　　[分析与解答] 设y=x2+(2-a)x-2a，其表示的抛物线开口向上，Δ=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)2≥0,抛物线与x轴相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的两个根是-2或a。下面只需确定两个根的大小关系，就可以写出不等式的解集。　　x2+(2-a)x-2a<0　(x+2)(x-a)<0 　　当a>-2时，原不等式解集是{x

41、-2

42、a

43、　　例4．已知不等式ax2+bx+c>0的解是-30的解集是-3

44、=2a,c=-3a，代入所求不等式-3ax2+3ax+6a<0,　　∵a<0，∴x2-x-2<0,(x-2)(x+1)<0, 　　∴-1

45、-10, 　　将=-3，=2，代入得-3x2+3x+6>0，即x2-x-2<0, 　　以下同上面解法。 　　在本题条件下，要求解每一个字母a,b,c的值是不正确的。由于满足条件的二次函数只要开口向下，与x轴交于点(-3,0)和(1,0)即可，而这样的二次函数

46、有无穷多个，故a,b,c无唯一解。 　　例5．解关于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0，其中a∈R。 　　[分析与解答] a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。 　　当a=0时，不等式化为8x+1>0。不等式的解为{x

47、x>-,x∈R}。 　　当a≠0时，由Δ=(a-