椭圆的定义习题.doc

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1、第二章　2.2　2.2.2　第一课时一、选择题1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　)A．(±13,0)　　B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±)解析：选D　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A．＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：选A　由椭圆的性质知

2、

3、AF1

4、＋

5、AF2

6、＝2a，

7、BF1

8、＋

9、BF2

10、＝2a，又∵△AF1B的周长＝

11、AF1

12、＋

13、AF2

14、＋

15、BF1

16、＋

17、BF2

18、＝4，∴a＝．又∵e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1．3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则(　　)A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9解析：选D　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9．4．

19、已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP―→＝2PB―→，则椭圆的离心率是(　　)A．B．C．D．解析：选D　∵AP―→＝2PB―→，∴

20、AP―→

21、＝2

22、PB―→

23、．又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，∴e＝＝．5．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)A．B．C．D．解析：选B　法一：将x＝－c代入椭圆方程可解得点P，故

24、PF1

25、＝．在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，所

26、以

27、PF2

28、＝.根据椭圆定义得＝2a，从而可得e＝＝．法二：设

29、F1F2

30、＝2c，则在Rt△F1PF2中，

31、PF1

32、＝c，

33、PF2

34、＝c．所以

35、PF1

36、＋

37、PF2

38、＝2c＝2a，离心率e＝＝．二、填空题6．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是__________________________．解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，因此可设待求椭圆为＋＝1．又因为b＝2，故m＝20，得＋＝1．答案：＋＝17．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________．解析：当焦点在x轴上时，＝⇒m＝3；当焦点在

39、y轴上时，＝⇒m＝．综上，m＝3或m＝．答案：3或8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为__________．解析：∵e＝＝，∴＝＝，∴5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b2．设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞0)．∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1，解得a2＝45.∴椭圆的方程为＋＝1．答案：＋＝1三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．解：设椭圆

40、C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由e＝知＝，故＝，从而＝，＝．由△ABF2的周长为

41、AB

42、＋

43、BF2

44、＋

45、AF2

46、＝

47、AF1

48、＋

49、AF2

50、＋

51、BF1

52、＋

53、BF2

54、＝4a＝16，得a＝4，所以b2＝8.故椭圆C的标准方程为＋＝1．10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：2＋y2＝2，∴y2＝ax－x2.①又∵P点在椭圆上，∴＋＝1.②把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3

55、x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0.∵x≠a，x≠0，∴x＝，又0＜x＜a，∴0＜＜a，即2b2＜a2．由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，∴e＞．又∵0＜e＜1，∴＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围是．