椭圆定义的应用

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1、椭圆定义的应用主讲：庞启满制作：庞启满&冬青工作室定义1：平面内与两个定点F1，F2的距离和等于2a（2a>

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫椭圆。注意：①当2a=

4、F1F2

5、时轨迹为线段

6、F1F2

7、当2a<

8、F1F2

9、时，无轨迹。定义2：与定点的距离和它到定直线的距离比是常数e(0b>0)解：根据题意画出图形，如右图∵

10、AF1

11、+

12、AF2

13、=2a∴

14、AF1

15、+

16、AF2

17、+

18、BF1

19、+

20、BF2

21、=4a即

22、AB

23、+

24、AF1

25、+

26、BF1

27、=4例1：过椭圆的一个焦

28、点F2的直线与椭圆交于A、B两点，则AB与椭圆的另一个焦点F1构成△ABF1的周长()A.2B.4C.D.2

29、BF1

30、+

31、BF2

32、=2aB例2：一动圆与圆⊙o1：x2+y2+6x+5=0外切,同时与⊙o2：x2+y2_6x_91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。解：设动圆圆心为M，半径为R分别将两已知圆配方得:(x+3)2+y2=22(x_3)2+y2=102当⊙M与⊙O1外切时

33、M01

34、=R+2∵c=32a=12∴a=6b2=a2-c2=27于是得动圆圆心的轨迹方程为—+—=136x227y2∴动圆圆心的轨迹

35、是椭圆，长轴和短轴长分别12,6。当⊙M与⊙O2内切时

36、M02

37、=10–R

38、M01

39、+

40、M02

41、=12例3、已知定点A（－2，）,点F为椭圆　　　　　的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求

42、AM

43、＋2

44、MF

45、的最小值。分析：本题按常规思路，设M(x,y),则

46、AM

47、＋2

48、MF

49、=又因为M在椭圆上，M(x,y)满足例3、已知定点A（－2，）,点F为椭圆　　　　　的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求

50、AM

51、＋2

52、MF

53、的最小值。解：∵a=4,b=2,∴e=,设点M到右准线的距离为d,∴

54、AM

55、+2

56、MF

57、=

58、AM

59、+d由于点A在椭圆内，过A作A

60、Dl，D为垂足，∴｜AM｜＋2｜MF｜的最小值为10即2｜MF

61、=d易证｜AD｜即为｜AM｜＋d的最小值，其值为8－（－2）＝10∴c=2右准线:x=8则右焦点F（2,0），例3’、已知定点A（－2，）,点F为椭圆　　　　　的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求

62、AM

63、＋

64、MF

65、的最小值。解：当MA的连线过左焦点F’时

66、F’A

67、+

68、AM

69、+

70、MF

71、的值最小，最小值2a等于8（

72、F’A

73、+

74、AM’

75、+

76、M’F

77、>2a）

78、F’A

79、=∴

80、AM

81、＋

82、MF

83、的最小值为8-a2=16,b2=12,∴c2=4.F’(-2,0)即c=2,例4：求经过定点

84、M（1,2），以y轴为准线，离心率为　的椭圆左顶点的轨迹方程。解∵椭圆经过M（1,2）∴椭圆在y轴的右侧，∵椭圆离心率为　，设d为M到y轴的距离，则d=1,且以y轴为准线，长轴平行于x轴，即

85、MF

86、=设椭圆左顶点为A（x,y）整理得则左焦点F的坐标为（　，y）,椭圆的两个定义是从不同的角度反映了椭圆的特征，解题是要灵活选择，运用自如。如果遇到动点与两个定点的问题，用椭圆的第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题用椭圆的第二定义。已知椭圆　　　　　　上一点M到右焦点F2的距离为b(b>0),求P到左准线的距离。解：｜MF1｜＋｜MF2｜

87、=4b,d为P到左准线的距离。∴M到左准线距离为a=2b,e=c=,∴｜MF1｜=3b,M到左准线的距离为2另解：∵d2为P到右准线的距离，∴∵椭圆两准线的距离为谢谢各位观赏