直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳.doc

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1、直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳知识点精讲：1、定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.2．判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-13）表8-13文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直__a平行与垂直的关系1一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直_平行与垂直的关系2两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直a_b_a3．性质定

2、理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-14）表8-14文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行a_b_a文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行_线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直二、斜线在平面内的射影1.斜线的定义一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足.2.射影的定义过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.3.直线与平面所成的角平面内的一条斜线和它在平面内的射影

3、所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角，故直线与平面所成的角的范围是.如图8-122所示，是平面的斜线，为斜足；是平面的垂线，为垂足；是在平面的射影，的大小即为直线与平面所成的角的大小.三、平面与平面垂直1.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角，

4、二面角的范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若，，且，，，则）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直_4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直__a题型归纳及思路提示

5、题型115证明空间中直线、平面的垂直关系思路提示线线线面面面（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）.（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图8-125所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置.性

6、质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线∥面线∥线面∥面线⊥面线⊥线面⊥面图8-125题型讲解题型一、线线垂直证明线线垂直常用线面垂直的性质（线面垂直线线垂直）.例8.33设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A．∥，B．，∥C．，∥D．∥，解析：举例排除法如图8-126所示，以正方体为模型，构造相应的直线和平面，利用排除法，选C.评注：此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行判断.变式1：在正四棱锥中，，是中点，是的重心，则在平面中经过点且与直线垂直的直线有多少条？变式2：已知是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①

7、；②；③；④.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.变式3：在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是正方体表面上的一点，若，则线段的长度的取值范围是_______________.例8.34如图8-127所示，在直棱柱中，，垂足为.求证：.分析：线面垂直的判定及性质进行转化.解析：在直棱柱中，因为底面，所以，又，，，平面内，所以平面，又平面内，故.评注：证明线线垂直的方法很多，除了平面几何（等腰三角形底边上的中线是高，勾股定理逆定理，菱形对角线互相垂直等）中的，空间几何中的方法是线垂直于面的

8、定义，三垂线定理及其逆定理，空间向量等，究竟选用哪个