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1、第四节基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分机动目录上页下页返回结束一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四章1有理函数rationalfunction真分式properfraction假分式improperfraction生词一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式.机动目录上页下页返回结束简单分式:形如的分式.(其中A、a、M、N、p、q为常数)3定理.任何一个真分式机动目录上页下页返回结束(无公因子)都可分解成若干个简单分式之和,并且(1)若Q(x)=0有k重实根a(即把Q(x
2、)在实数范围内因式分解,含有因子),则分解时必含有以下的分式:其中为待定系数.(2)若Q(x)=0有一对k重共轭复根和(即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有因子),则分解时必含有其中为待定系数.4机动目录上页下页返回结束根据上述的结论,一个真分式都可分解成若干个简单分式之和,而这些简单分式不外乎为以下四种类型:于是,求任何一个真分式的不定积分问题,也就转化为求以上四种类型的不定积分.5机动目录上页下页返回结束求四种类型的不定积分：6机动目录上页下页返回结束求四种类型的不定积分：上一节例9四种类型的不定积分都为初等函数7机动目录上页下页返回结束有理函数的不定积分
3、：有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和结论:有理函数的不定积分为初等函数.8例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机动目录上页下页返回结束9(2)用赋值法故机动目录上页下页返回结束10(3)混合法机动目录上页下页返回结束原式=11例2.求解:已知例1(3)目录上页下页返回结束12例3.求解:原式思考:如何求机动目录上页下页返回结束提示:变形方法同例3,并利用上一节课件例9.13例4.求机动目录上页下页返回结束解:令得∴原式14例5.求解:机动目录上页下页返回结束说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便
4、,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.15例6.求解:原式机动目录上页下页返回结束16例7.求常规目录上页下页返回结束解:原式(见P348公式21)注意本题技巧按常规方法较繁17按常规方法解:第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!机动目录上页下页返回结束18例.求解:令比较同类项系数,故∴原式说明:此技巧适用于形为的积分.二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t的有理函数的积分机动目录上页下页返回结束1.三角函数有理式的积分则20例8.求解:令则机动目录上页
5、下页返回结束21机动目录上页下页返回结束22例9.求解:说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动目录上页下页返回结束23例10.求解法1令原式机动目录上页下页返回结束24例10.求解法2令原式机动目录上页下页返回结束25例11.求解:因被积函数关于cosx为奇函数,可令原式机动目录上页下页返回结束262.简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:机动目录上页下页返回结束令27例12.求解:令则原式机动目录上页下页返回结束28例13.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原
6、式令机动目录上页下页返回结束29例14.求解:令则原式机动目录上页下页返回结束30内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动目录上页下页返回结束简便,31思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式机动目录上页下页返回结束32作业P2181-24第五节目录上页下页返回结束33备用题1.求不定积分解：令则,故机动目录上页下页返回结束分母次数较高,宜使用倒代换.342.求不定积分解：原式=前式令;后式配元
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