高数换元积分法的课件.ppt

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1、1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质复习§4-1不定积分的概念与性质1二、第二类换元法一、第一类换元法§4-2换元积分法2第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有复合函数求导3一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)4注：①定理说明：若已知则因此该定理的意义就在于把中的换成另一个的可微函数后，式子仍成立——又称为积分的形式不变性故扩展

2、了基本积分表的适用范围②由定理可见，虽然是一整体记号，但可把视为自变量微分——凑微分5凑微分法的基本思路：与基本积分公式相比较，将不同的部分——中间变量和积分变量——变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例1求解（一）解（二）解（三）注：形式不一样，实质差常数6例2.求解:令则联想公式例2-例4类型相同7例3.求想到解:(直接配元)8例4解注：拆项是常用的技巧9例5.求解:类似例5-例6类型相同10例6求解（一）（使用了三角函数恒等变形）11解（二）12类似地可推出解（三）13常用的几种配元形式:14

3、例7求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.15例8求解积化和差16例9求原式解分母有理化17例10求凑微分配方18解例11设求.令19例12求解:原式20第一类换元法常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如21二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，22定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式23例1.求解:令则∴

4、原式取单调区间24例2.求解:令则∴原式取单调区间25例3.求解:令则∴原式取单调区间26令于是27说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令注：所作代换的单调性。对三角代换而言，取单调区间即可。28说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例中,令29说明(3)积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.例求（三角代换很繁琐，采用根式代换）解令30说明(4)当分母

5、的阶较高时,可采用倒代换例求解令31说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例求解令32第二类换元法常见类型:令令令或令或令或后讲令(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换33基本积分表3435解:原式例1.求例2.求解:36小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)37作业P2371(17,23,31)2(6,9,10)3(5)P368(1-22)背公式38