高数课件17换元积分法.ppt

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1、换元积分法直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。营口地区成人高等教育QQ群54356621问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法说明结果正确营口地区成人高等教育QQ群54356621将上例的解法一般化：设则如果（可微）将上述作法总

2、结成定理，使之合法化，可得——换元法积分公式营口地区成人高等教育QQ群54356621第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1营口地区成人高等教育QQ群54356621注①定理说明：若已知则因此该定理的意义就在于把中的换成另一个的可微函数后，式子仍成立——又称为积分的形式不变性这样一来，可使基本积分表中的积分公式的适用范围变得更加广泛。②由定理可见，虽然是一整体记号，但可把视为自变量微分——凑微分营口地区成人高等教育QQ群54356621③凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积表达式进行变形，主要考虑如何变化凑微分法的基本思路：与

3、基本积分公式相比较，将不同的部分——中间变量和积分变量——变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例1求解（一）营口地区成人高等教育QQ群54356621解（二）解（三）例2求解营口地区成人高等教育QQ群54356621一般地例3求解营口地区成人高等教育QQ群54356621例4求解营口地区成人高等教育QQ群54356621例5解例6求解营口地区成人高等教育QQ群54356621例7解注意：分子拆项是常用的技巧营口地区成人高等教育QQ群54356621例8求解营口地区成人高等教育QQ群54356621例9求解营口地区成人高等教育QQ群54356621例10求解营口地区成人高等教

4、育QQ群54356621例11求原式营口地区成人高等教育QQ群54356621例12求解或营口地区成人高等教育QQ群54356621例13求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.营口地区成人高等教育QQ群54356621例14求解营口地区成人高等教育QQ群54356621例15求解（一）（使用了三角函数恒等变形）营口地区成人高等教育QQ群54356621解（二）解（三）营口地区成人高等教育QQ群54356621类似地可推出营口地区成人高等教育QQ群54356621解例16设求.令营口地区成人高等教育QQ群54356621例17求解营口地区成人高等教育QQ群543566

5、21例18解（一）分子分母同乘以营口地区成人高等教育QQ群54356621解（二）分子分母和差化积解（三）分子恰为分母的导数营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。营口地区成人高等教育QQ群54356621问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法营口地区成人高等教育QQ

6、群54356621证设为的原函数,令则则有换元公式定理2营口地区成人高等教育QQ群54356621第二类积分换元公式营口地区成人高等教育QQ群54356621例19求解令营口地区成人高等教育QQ群54356621例20求解令营口地区成人高等教育QQ群54356621例21求解令营口地区成人高等教育QQ群54356621说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。营口地区成人高等教育QQ群54356621说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换

7、.也可以化掉根式例中,令营口地区成人高等教育QQ群54356621说明(3)积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.例22求（三角代换很繁琐）解令营口地区成人高等教育QQ群54356621例23求解令营口地区成人高等教育QQ群54356621说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例24求解令营口地区成人高等教育QQ群54356621例25求解令（分母的阶较高）营口地区成人高等教育QQ群54356621营