高数：不定积分的概念与性质,换元积分法.ppt

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1、第六讲不定积分的概念与换元积分法1不定积分的概念与性质2凑微分法(第一换元积分法)3第二换元积分法例定义：1、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）证（为任意常数）任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量例1求解解例2求例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线

2、通过点（1，2）所求曲线方程为显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.1.2基本积分表基本积分表是常数);说明：简写为例4求积分解根据积分公式（2）证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）1.3不定积分的性质例5求积分解例6求积分解例7求积分解例8求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.解所求曲线方程为基本积分表(1)不定积分的性

3、质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系小结问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令2、第一类换元法在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1例1求解（一）解（二）解（三）例2求解一般地例3求解例4求解例5求解例6求解例7求解例8求解例9求原式例10求解例11求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例12求解例13求解（一）（使用了三角函数恒等变形）解（二）类似地可推出解例14设求.令例15求解问题解决方法改

4、变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）3、第二类换元法证设为的原函数,令则则有换元公式定理2第二类积分换元公式例16求解令例17求解令例18求解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例19求（三角代换很繁琐）令解例20求解令说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例21求令解例22求解令（分母的阶较高）说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，

5、可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例23求解令基本积分表小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)