高数课件18特殊积分法.ppt

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1、几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式之和.（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为注关于部分分式分解如对进行分解时一项也不能少，因为通分后分子上是多项式，可得到k个方程，定出k个系数，否则将会得到矛盾的结果。例如但若矛盾（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为真分式化为部分分式

2、之和的待定系数法例1代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2例3整理得例4求积分解例5求积分解例6求积分解令说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分令则记这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.注意以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法。如使用凑微分法比较简单基本思路尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成分项积分可考虑引入变量代换三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数

3、称之．一般记为二、三角函数有理式的积分令（万能置换公式）例7求积分解由万能置换公式例8求积分解（一）解（二）修改万能置换公式,令解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.如若用万能代换，则化部分分式比较困难但若是凑微分，则比较简单基本思路尽量使分母简单——分子分母同乘，或使分母变成一项等尽量使的幂次降低万能代换例9求积分解讨论类型解决方法作代换去掉根号.例10求积分解三、简单无理函数的积分例11求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最

4、小公倍数.例12求积分解先对分母进行有理化原式例13解一令解二令简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.