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《高三数学教案：构造新数列与数列中的放缩法.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、构造新数列与数列中的放缩法河北望都中学汤敏军数列问题中的构造新数列与放缩法证明不等式在近几年高考题中经常出现。这类题目的难度及区分度往往很大，考生不容易掌握，有时甚至无从下手。现通过几个具体问题的分析谈谈常用的构造数列的方法与放缩手段，希望对众考生的备考有所帮助.例1已知数列{an}满足：a1=1且2an3an11(n2).n22（1）求数列{an}的通项公式；12（2）设mN，mn2，证明（an+1（m-n+1）m1）m2nm分析：这是06年河北省高中数学竞赛的一道解答题（1）大家都知道数列的递推公式往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列
2、的递推公式由已知有an=3an11,学生对形如anAan1B(AB0,且A1,A，B是常数）22n1形式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生，本题中的递推关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?不妨设anx3(an1x)(n2)即an3an1c与an3an11比较2n22n122n122n1系数得c=1.即an1(3nan13(an112n)2n22n1)2又a11313公比为3的等比数列，2,故{ann}是首项为2222故an(3)n122n(2)这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.
3、综合性较强.即证(3)mn(mn1)m21，当m=n时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时，等2m号成立。设bn(3)mn(mn1)下面先研究其单调性。当m>n时，211bn(3)m(mn1)(3)m(11n),bn12mn2m(bn)m(3)1(1m1)m2(1m1)41bnbn1bn12n3m3m212即数列{bn}是递减数列.因为n2，故只须证b2,即证(3)mm1。事实m2m第-1-页共4页上，(m1)m1Cm11Cm21519故上不等式成立。综上，原不等mmm222m4式成立。无独有偶，在不到1个月的06年全国一卷高考题22中恰出现了本
4、例中构造数列求通项公式an的模型。有兴趣的同学可找做一做。例2设数列{an}满足a13,an12ann1（1）求{an}的通项公式；（2）若c11,bncn1cn111ann,dncn1cn求证：数列{bndn}的前n项和sn13分析：（1）此时我们不妨设an1A(n1)B2(anAnB)即an12anAnAB与已知条件式比较系数得A1,B0.an1(n1)2(ann)又a112,{ann}是首项为2，公比为2的等比数列。ann2n,即an2nn.（3）由（1）知an2nn,bn1.当n2时,2ncnc1(c2c1)(c3c2)...(cncn1
5、)1b1b2......bn11111111...2n21.2222n1112n2n=1c1=1cn1当时，也适合上式，所以2，故2n11111bndn2n(11)(2n12)(2n11)22n122n方法一：2n122n，2n113(这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推测出.)1n111111(2)111bndn32n,Sn32322...32n6113(12n)3.2方法二:在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此第-2-页共4页种处理达不到目的.但是当n3时,我们看
6、:Sn1611...(2n11(2n11)由前二项会得到1123714152)37这样Sn11111...11我们可重新加括号得66714152n122n11Sn111)11)...(11)]1[((30n1n12n11371415222显然110,10n12n12n1122故sn1得证.这样也实现了我们的初步想法.也易让学生接受.3易验证当n=1，2时sn1综上sn1.33下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题.例3已知正项数列{an}满足a11,an1an1an,(nN)(n1)2（1）判断数列{an}的单调性；（2）求证：1111
7、1n1n2anan1(n1)2分析：（1）an1an10故an1an，即an1an(n1)2故数列{an}为递增数列.111(2)不妨先证anan1(n1)211an1anan12an12.anan1anan1(n1)2anan1(n1)an1(n1)再证：1111原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法n1n2anan1第-3-页共4页11111111111a1an1()(a2)...()2232...2a1a2a3anan1(n1)11...1(用到了累差迭加法及11这种常用的放缩手段).12n(n1)2n(n1)231)(n11111112
8、3...1n12nn1an1n11anan1an(n1)2anan[1(n1)2]an11anan1)2(n11an1ananan1an
