【专题整理】【解答题】【放缩法、构造法】【数列、导函数】.doc

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1、高考压轴题中的放缩法与构造法（数列与不等式、函数与不等式）总的来说，高考中与不等式有关的大题（主要是证明题）一般常用均值不等式、构造函数后用导数工具、裂项相消等常见放缩法来解决．证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：以下的所有放缩法中裂项相消法、均值不等式法放缩、二

2、项分布法放缩以及函数放缩法最常用必须掌握，所以要先看这些方法．其他的方法，如果有精力的话可以了解一下．如果真的掌握不了也足以应付高考．一、裂项放缩【例1】（1）求的值；（2）求证：．【解析】（1）∵，∴．（2）∵，∴．【常用放缩技巧】（1）；（2）；（3）（）；（4）；第40页（5）；（6）；（7）；（8）；（9），；（10）；（11）；（12）（）；（13）；（14）；（15）；（16）（）；（17）．【例2】（1）求证：（）；（2）求证：；（3）求证：；第40页（4）求证：．【解析】（1）∵，∴；（2）；（3）先运用分式放缩法证

3、明出，再结合进行裂项，最后就可以得到答案；（4）首先，∴容易经过裂项得到；再证，而由均值不等式知道这是显然成立的，∴．【例3】求证：．【解析】一方面：∵，∴；另一方面：；当时，，当时，，当时，，∴综上有．第40页【例4】（2008年全国卷）设函数，数列满足，．设，整数．证明：．【解析】由数学归纳法可以证明是递增数列，故存在正整数，使，则，否则若（），则由知：，，∵，于是．【例5】已知：、，，，求证：．【解析】首先可以证明：．，∴要证：，只要证：；故只要证：，即等价于，即等价于，，而正是成立的，∴原命题成立．【例6】已知：，，求证：．

4、【解析】，∴第40页；从而．【例7】已知：，，求证：（）．【解析】，∵，∴，∴（）．二、函数放缩【例8】求证：（）．．【解析】先构造函数由，从而；∵，∴．【例9】求证：，（）．【解析】第40页构造函数，得到，再进行裂项，求和后可以得到答案；或函数构造形式：，（）．【例10】求证：．【解析】提示：．函数构造形式：，．当然本题的证明还可以运用积分放缩：如图，取函数．首先：，从而，取有，，∴有、、、、，相加后可以得到：；另一方面，从而有，取有，，∴有，∴综上有．【例11】求证：和．【解析】构造函数后即可证明．【例12】求证：．第40页【解

5、析】，叠加之后就可以得到答案．函数构造形式：（）（）（加强命题）【例13】证明：（，）．【解析】构造函数（），求导可以得到：，令，有，令，有，∴，∴，令有，，∴，∴（，）．【例14】已知，，证明：．【解析】，然后两边取自然对数，可以得到，然后运用和裂项可以得到答案．放缩思路：．于是，，即．注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论（）来放缩：第40页，即．【例15】（2008年厦门市质检）已知函数是在上处处可导的函数，若在上恒成立．（1）求证：函数在上是增函数；（2）当，时，证明：；

6、（3）已知不等式在且时恒成立，求证：（）．【解析】（1），∴函数在上是增函数；（2）∵在上是增函数，∴；，两式相加后可以得到．（3）【方法一】；；；；相加后可以得到：，∴；令，有第40页，∴（）．【方法二】，∴，又，∴（）．【例16】（2008年福州市质检）已知函数．若，，证明：．【解析】设函数（），∵，∴，∴，∵，令，则有，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴的最小值为，即总有；而，∴，即，令，，则，∴，∴．三、分式放缩姐妹不等式：（，）和（，）；记忆口诀“小者小，大者大”；解释：看的大小，若小，则不等号是小于号，反之．【例19】

7、姐妹不等式：和第40页，也可以表示成为：和．【解析】利用假分数的一个性质（，）可得：，即．【例20】证明：．【解析】运用两次次分式放缩：（加1）；（加2）；两式相乘可以得到：，∴有．四、分类放缩【例21】求证：．【解析】．【例22】（2004年全国高中数学联赛加试改编）在平面直角坐标系中，轴正半轴上的点列与曲线（）上的点列满足，直线在轴上的截距为．点第40页的横坐标为，．（1）证明：，；（2）证明有，使得对都有．【解析】（1）依题设有：，由得：，又直线在轴上的截距为满足，，，，，显然，对于，有．（2）证明：设，则；设，则当时，．∴，

8、取，对都有：；故有<成立．【例23】（2007年泉州市高三质检）已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0]．若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论．【解析】首先求出，∵，