谈谈数列中的放缩法.doc

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1、谈谈数列中的放缩法高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现（虽然数列在高考中已有所降温）．放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能．缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法．在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果．但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象．因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要．要想

2、正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点．掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力．放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握．裂项放缩与裂项（1）基本放缩；；；，（k∈N+）．（2）对的放缩①（）；②（）；．（3）对的放缩（）；（4）对的放缩；（关系不明显的需证明）．（5）（*）．（6

3、）对的放缩．典型例题8例1（型）若是自然数，求证：．2、(节选2014广东文)，求证：对一切正整数，．例2、（根式型）求证：，其中．变式:（灵活放缩）已知各项均为正数的数列的前项和为，且．(1)求证：；(2)求证：．解：（1）在条件中，令n＝1，得，，，又由条件，有：，上述两式相减，注意到，得，∵，∴，故而，所以，，，所以·；（2）由nn＋1，得，即，所以，，例4（构造型放缩）（2014高考数学新课标Ⅰ理17）已知数列满足，．8（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明：．解：（1）证明略，；（2）由（I）知，，因为时，，所

4、以．于是．（其他方法这里不介绍）变式：设数列为单调递增的等差数列，，且依次成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（II）若，求证：．解：⑴…….3分⑶而所以…………………….13分灵活拓展：1、（13·成都一诊）数列中，，，且当时，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和；（3）求证：．解：（I）；……3分（II）；……7分（III）显然时不等式成立，当时，，故时，82、已知函数满足：．若，设，为数列前n项和，证明：．解析：，，一、分式和——准确变形，裂项相消例（06·全国I·理·22）设数列的前项的和，．（1）求首项

5、与通项；（2）设，，证明：．解析：（I），；（II）证明：，，8．二、指数和——裂项无效，化归等比例（节选06·福建·理·22）已知，求证：．证明：三、把握结构，均分放缩对形如“（其中是常数）”的不等式，由于左边是项之和，右边可以变形为个之和，所以可考虑左边的每一项能否放大到．像这种每一项的放缩度是一样的，称为均分放缩，是化归等比的特例．如上例中：可以用此法来证明，只需证明每项均小于即可．因为，所以．注：均分放缩，应从欲证不等式的结构形式上去考虑，由于每项放缩度是一样的，放缩程度比较大，因此可以考虑前面一项或前面几项不放缩，对后面

6、几项进行放缩．四、特殊探路，确定目标——合理变形，不断调整如果不等关系不明确时，可以先选取几个特殊值进行尝试，名曲目标后再进行论证．例设函数，已知不论，为何实数，恒有，．对于正数列，其前项和．（1）求实数的值；（2）求数列的通项公式；（3）若，，且数列的前项和，比较与的大小，并说明理由．8解析：（I）；（II），；到底是放大还是缩小？我们可以用特殊值探路，当时，都有，由此可以大胆猜想证明目标：“”，明确放缩方向后，进行尝试探索，并不断调整，努力接近解题目标，直到解决问题．在上例中，明确方向后，估计是通过裂项相消，能出现的形式，再判

7、断的符号．因此关键是对进行放缩变形，可以采用不同的试探方式．经计算发现，只有（5）能有效解决问题．注：在使用放缩证题时，经常会遇到放的太大或者缩得太小的情况，因此需要大胆尝试、猜想、判断，并不断的调整，虽经失败，但从中获得了教训和经验，对培养我们的探索精神大有裨益．五、准确判断，确定起点例1（2013·广东·理）若是自然数，求证：．证明：记，①当时,,原不等式成立.②当时,8当时,原不等式亦成立.综上,对一切正整数,有.六、放缩一步到位在用“放缩法”证明不等式时，最易犯的错误是放缩过头.为了避免放缩过头，人们往往反复尝试，才可能找

8、到最适当的放缩方式，这样做费时又费力.如何恰到好处地放缩，自然为广大师生所关注本文将用待定系数法来准确把控放缩程度，从而证明相关不等式．例1求证：．证明：因为所以．“”是如何想到的？为何不是、、等其他数？可能有人会说是试出来的．有没有办法一步到位找