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1、饶平二中高二竞赛辅导材料(-)数列递推与通项一.观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。1.根据给出数列的前n项，写出下列的一个通项公式。(1)11,103,1005,10007…..(2)7,77,777,7777……(3)2,-6,12,-20,30,-42,….(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…..(5)1,0,3,0，5,0…..二.公式法（1）当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。（
2、2）已知数列的前n项和求通项时，通常用公式。2.已知下列数列的前n项和求通项公式。3.已知数列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通项公式．解：∴是以1为首项，公差为2的等差数列．∴=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=．∴an=Sn－Sn－1==6饶平二中高二竞赛辅导材料(-)∴an=三.由递推式求数列通项(迭加法、迭乘法)对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。称辅助数列法。4.根据的首项和递推公式，写出数列的前5项及通项公式
3、5.（迭加法）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3×（－）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－，求{an}的通项公式．解：先考虑偶数项有：S2n－S2n－2=－3·S2n－2－S2n－4=－3·……S4－S2=－3·6饶平二中高二竞赛辅导材料(-)将以上各式叠加得S2n－S2=－3×，所以S2n=－2+．再考虑奇数项有：S2n＋1－S2n－1=3·S2n－1－S2n－3=3·……S3－S1=3·将以上各式叠加得S2n＋1=2－．所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4
4、+3×．综上所述an=，即an=（－1）n－1·．6.（an+1=pan+r类型数列）在数列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通项公式．解：∵an+1－3=2（an－3）∴{an－3}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴an－3=2n∴an=2n+3．7.在数列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通项公式．6饶平二中高二竞赛辅导材料(-)解：an+12=an2+∴an+12－1=（an2－1）∴{an+12－1}是以3为首项，公比为的等差数列．∴an+12－1=3×，即an=8.（an+1
5、=pan+f（n）类型）已知数列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通项公式．解：（待定系数法）设an+p·3n=an－1+p·3n－1则an=an－1－2p·3n－1，与an=an－1+3n－1比较可知p=－．所以是常数列，且a1－=－．所以=－，即an=．四、转化为常见类型求解：（1）倒数变换法：形如（为常数，且）的递推公式，可令。则可转化为型；（2）对数变换法：9.已知数列{an}中，a1=，an+1=，求{an}的通项公式．解：∴是以为首项，公差为2的等差数列，即+2（n－1）=∴an=6
6、饶平二中高二竞赛辅导材料(-)10.已知数列满足，求。11.（求和法，利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正数数列{an}的前n项和Sn=，求{an}的通项公式．解：S1=a1=，所以a1=1．∵an=Sn－Sn－1∴2Sn=Sn－Sn－1+∴Sn+Sn－1=，即Sn2－Sn－12=1∴是以1为首项，公差为1的等差数列．∴Sn2=n，即Sn=∴an=Sn－Sn－1=－（n≥2）∴an=－．12.数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．解：（I），，，因为，，成等比数列，所以
7、，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．6饶平二中高二竞赛辅导材料(-)（II）当时，由于，，…………，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以6
