数值计算迭代法.doc

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1、习题二3、证明：当X0=1.5时，迭代法Xk+1=和Xk+1=都收敛于方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x*，并分别用上述迭代法求满足于精度要求︱Xk+1-Xk︱≤10-5的近似根。解：证明：{先用迭代法求f(x)=x3+4x2-10=0的根。（a）对x3+4x2-10=0变形有：4x2=10-x3所以：X=则相应的迭代公式为：Xk+1=取：X0=1.5，根据计算可以看出看，我们认为得到的迭代序列是收敛的。}（此行可忽略）{由f(x)=x3+4x2-10=0得迭代方程：X==g（x）先证明在区间【1,2】上

2、x=g（x）有实根。由于[1,2]上g‘（x）存在，所以g（x）连续。作Q（x）=x-g(x),则Q(x)在[1,2]上也连续。由定理1条件2有：Q（1）=1-g（1）≤0，Q（,2）=1-g（2）≥0故存在x*∈[1,2]使Q*（x）=0，即x*=Q*（x）又因为，x*是方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间[1,2]内的唯一实根，（由定理一条件2）对任意的x0∈[1,2]时，Xk∈[1,2]（k=0,1,2,3…）因为：x*-Xk+1=g（x*）-g（Xk）=g‘（hk）（x*-Xk）故由条件1知：︱X*-Xk+1︱≤L︱X*

3、-Xk︱（k=0,1,2,3…）于是有：0≤︱X*-Xk︱≤Lk︱X*-X0︱,0＜L＜1，立即可知：lim（k趋于无穷）︱X*-Xk︱=0,从而lim（k趋于无穷）Xk=X*。所以当X0=1.5时，迭代法Xk+1=和Xk+1=都是由迭代法Xk+1=g（Xk）产生的迭代序列{Xk}收敛于方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x*。正解如下：(1)（牛顿迭代法）：证明：对方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间[1,2]内，（a）f‘(x)=3x2+8x，f’‘(x)=6x+8，f’‘(x)在区间[1,2]内连

4、续；（b）f（1）=-5，f（2）=14，f（1）f（2）＜0；（c）对于任意的x∈[1,2]，都有f‘(x)=/(不等于)0；（d）f’‘(x)在[1,2]上保号；综上所述，当X0=1.5时，迭代法Xk+1=和Xk+1=都收敛于方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x*。（2）用牛顿迭代法求近似根。方程f(x)=x3+4x2-10=0有唯一实根x*∈[1,2]，容易验证，f(x)=x3+4x2-10在[1,2]上满足定理4重各个条件，而当X0=1.5时有：X0∈[1,2]且f（X0）f‘’（x0）＞0，故相应

5、的牛顿迭代过程Xk+1=Xk-（k=0,1,2,3。。。）收敛，且x9=x25=1.36523