数值分析迭代法.ppt

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1、第二节迭代法它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。6.2.1迭代法的基本思想为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于迭代的等价方程其中为x的连续函数。即如果数使f(x)=0,任取一个初值,代入式的右端,得到则也有反之,若,则也有再将代入式的右端,得到上式称为求解非线性方程的简单迭代公式,依此类推,得到一个数列其一般表示称为迭代函数。例1试用迭代法求方程在区间(1，2)内的实根。解：由建立迭代关系计算结果如下:k=0,1,2,3

2、…….精确到小数点后五位kk01.551.3247611.3572161.3247321.3308671.3247231.3258881.3247241.32494但如果由建立迭代公式仍取，则有显然结果越来越大，是发散序列（全局收敛定理）6.2.2收敛性分析①存在唯一性做辅助函数，则有所以，存在点若，则有：又，②则所以，任意的初值都收敛③误差估计注：L越小，收敛越快。例2证明函数在区间[1，2]上满足迭代收敛条件。证明：若取迭代函数不满足定理，故不能肯定收敛到方程的根。定理设是方程的根，如果满足条

3、件：（1）迭代函数在的邻域可导；（2）在的某个邻域，对于任意，有局部收敛性则对于任意的初始值，由迭代公式产生的数列收敛于方程的根。（这时称迭代法在的S邻域具有局部收敛性。）例3设，要使迭代过程局部收敛到,求的取值范围。解：由在根邻域具有局部收敛性时，收敛条件所以实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做下去,对预先给定的精度要求ε，只要某个n满足即可结束计算并取当然，迭代函数的构造方法是多种多样的。xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1简单迭代收敛情

4、况的几何解释定义设迭代过程收敛于的根,记迭代误差若存在常数p（p≥1）和c（c>0），使则称序列是p阶收敛的,c称渐近误差常数。特别地,p=1时称为线性收敛,p=2时称为平方收敛。1

5、代公式收敛于证明该迭代公式平方收敛。证:迭代公式相应的迭代函数为将代入，根据定理可知，迭代公式平方收敛。为了使迭代过程收敛或提高收敛的速度,可设法①提高初值的精度以减少迭代的次数②提高收敛的阶数p（1）迭代-加速公式（加权法）设是根的某个近似值,用迭代公式校正一次得6.2.4迭代过程的加速又根据中值定理有可见,若将迭代值与加权平均,则可得到的是比更好的近似根则有：当范围不大时,设变化不大,其估计值为L迭代：改进：或合并写成：例5用加权法加速技术求方程在0.5附近的一个根。取L=-0.6，建立如下迭

6、代公式解：因为在附近仍取,逐次计算得=0.56658…=0.56714。迭代4次便可得到精度的结果,而不用加速技术需迭代18次,效果显著。（2）埃特金（Aitken）方法在加权法中,估计L的值有时不太方便。假设在求得以后,先求出由利用中值定理可得(在求根区间变化不大,用某个定值L近似地替代之)将迭代值再迭代一次,得新的迭代值将上述两个方程联立消去常数L化简可得则这样得到埃特金加速公式例6用埃特金方法求方程在初值附近的一个根,精度要求，取迭代格式解埃特金方法迭代格式为只迭代二次就得到满足精度要求的解

7、。