数值分析-逐次超松弛迭代法.ppt

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1、§3逐次超松弛迭代法（SOR方法）Byalex123例1方程组4图表6.1图表6.25从表6．2得到算法6．3应用SOR方法解方程组63．2SOR方法的收敛性现在，我们来讨论逐次超松弛迭代法的收敛性问题．证明由(3．5)式，有7证明893．3相容次序、性质A和最佳松弛因子10注意：例3定义311例4图6.112在每一个内部结点上，我们用二阶中心差代替问题(3．7)中的二阶导数则有13(3.9)图6.214由于边界结点上问题(3．7)的解的值已知为(3.10)因此方程组(3．10)可写成15(3.11)或写成(3.12)方程组(3．12)的系数矩阵是强优对

2、角的，因而是非奇异的．因此方程组(3．12)有唯一解我们可以将它的分量作为问题(3．7)的数值解，即问题(3．7)的解在内部结点处的近似值．16(3．9)是常用的所谓五点格式(参见图6．3)．注意:图6.317例如图6.418定理4若矩阵且具有相容次序，则它必具有性质A．1920定理6证明21充分性在例4中，如果将图6．2的结点编号2与5对调，那么得到的方程组的系数矩阵是22它具有(3.13)的形式．这个矩阵实际上又是交换方程组(3.12)的系数矩阵(具有性质A)的第2行与第5行，第2列与第5列得到的，因此排列矩阵定理7定理823证明24定理9证明25据

3、定理8有26引理(3．20)27的根的模小于l的充分必要条件是(3．21)证明28定理1029证明30定理11(3．23)那么(3．24)证明31(3.25)32现在证明(3．27)3334从而，由(3．25)和(3．27)式，有故(3．24)式成立35(3.29)而且以及(3．30)而且，由(3．24)式，显然有(3．31)36因子为例5方程组的系数矩阵37表一表二383．4SOR方法的收敛速度定理12(3．35)39证明(1)在定理12的假设下，据定理11显然有(3．36)因此40(3．34)左边不等式得证．另一方面，41即4243