53 超松弛迭代法.ppt

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1、5.3超松弛迭代法5.3.2超迭代法的收敛性5.3.1超迭代法的构造5.3.1超松弛迭代法的构造经整理得（5.3.1)称此式为逐次超松弛迭代法，简记为SOR(SuccessiveOver–Relaxation)法，其中称为超松弛因子。当时，（5.3.1)就是GS法。在很多情况小，J法和GS法收敛较慢，所以考虑GS法的改进。设计算第个近似解时，分量已经算好。按GS法给出辅助量再用参数将与做加权平均，即记A=D－L－U，(5.3.1)可写成矩阵形式再整理得(5.3.2)其中，迭代矩阵为(5.3.3)例5.4方程组得准确解为，如果用SOR跌代法（即GS法），计算公式是如果用的SOR迭代法，计算公

2、式是设的特征值为，则证取，迭代7次，则时得时得若继续算下去，要达到7位数字的精度，时，要迭代34次，而时，只需要迭代14次，显然选收敛要快些。按一般的迭代法收敛的理论，SOR迭代法收敛的充分必要条件是而与松弛因子有关。下面讨论松弛因子在什么范围内取值，SOR迭代法可能收敛。定理5.7如果解方程组的SOR法收敛，则有。5.3.2超松弛迭代法的收敛性由于SOR法收敛，所以有定理得证。该定理说明，只有当松弛因子在区间内取值时，SOR法才可能收敛。下面给出SOR法收敛的充分条件。定理5.8如果A为对称正定矩阵，且，则解的SOR法收敛。证设是的一个特征值，对应特征向量。由（5.3.3）可得这里，是实

3、对称矩阵，所以有。上式两边与作内积得（5.3.4）因为A正定，D亦正定，记，有。又记，则有由（5.3.4）有因A正定，，，所以即，从而，SOR方法收敛。定理得证。当时，SOR法就是GS法，所以上面的定理说明，当系数矩阵是对称正定矩阵时，GS法收敛。对于例5.4所给出的方程组，其系数矩阵是对称正定的，因此对和的SOR迭代法都收敛。例5.5设矩阵A非奇异，求证用GS法求解方程组时是收敛的。对，由A非奇异知，从而即是对称正定的，因此，用GS法求解方程组是收敛。证引入超松弛迭代法的想法是希望能找到最优的松弛因子，使对应的SOR方法受凉最快。对于一类有特殊性质的矩阵（即所谓2–循环的和相容次序的矩阵

4、，它们常在偏微分方程的数值解法中出现），有关的理论在50年代已得到。因为证明较复杂，这里只叙述其结果，即其中是J法迭代矩阵的谱半径。可以证明，对称正定的三对角矩阵满足最优松弛因子的条件。在实际应用中，一般地说计算较困难。对某些微分方程数值解问题，可以考虑用求特征值的近似值的方法，也可以由计算实践摸索出近似最佳松弛因子。