第25讲基本不等式学生.docx

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1、第25讲基本不等式及其应用[玩前必备]1．重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．a＋b2．基本不等式：ab≤2(a≥0，b≥0)，当且仅当a＝b时取等号．其中a＋b称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两2个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．3.基本不等式的几个常见变形(1)a＋b≥2ab(a，b＞0)．(2)x＋1≥2(x＞0)，b＋a≥2(a，b同号)．xab(3)ab≤a＋b2(a，b∈R)．2(4)a2＋b

2、2≥a＋b2(a，b∈R)．224.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．5.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)和定积最大：若s2；x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值4(2)积定和最小：若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.[玩转典例]题型一基本不等式成立条件问题例1若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2abC.1＋1

3、≥2D.b＋a≥2ababab解题要点在应用基本不等式时，“一正二定三相等”这三者缺一不可.[玩转跟踪]1．下列不等式中一定成立的是()A．x＋1≥2B．b＋a≥2C.sinx＋1≥2(x≠kπ，k∈Z)D.x＋1≥2(x>0)xabsinxx12.下列不等式：①a2＋1>2a；②a＋b≤2；③x2＋21≥1，其中正确的个数是()abx＋1A．0B．1C．2D．3题型二利用基本不等式求最值2例2(1)若x>0，则x＋x的最小值是()A．2B．4C.2D．22(2)当x>1时，函数y＝x＋1的最小值是________．x－1例3设0

4、求函数y＝x4－2x的最大值解题要点在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．[玩转跟踪]1.(1)当x>1时，x＋4的最小值为________；x－1(2)当x≥4时，x＋4的最小值为________．x－12.已知f(x)＝x＋1－2(x<0)，则f(x)有()xA.最大值为0B.最小值为0C.最大值为－4D.最小值为－4a3.已知函数f(x)＝4x＋x(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝______.4.若0

5、B.4C．2D.8题型三利用1的代换求值例4已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为________．[玩转跟踪]8＋2的最小值为________．1.已知x>0，y>0且x＋y＝1，则xy142．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝a＋b的最小值是()79A.2B．4C.2D．52[玩转练习]1．若0＜x＜1，则当f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x的值为()1132A.3B.2C.4D.35，则f(x)＝4x＋1的最小值为()2．若x＞44x－5A．－3B．2C．5D．73．已知a，b为正实数且ab＝1，若不等式(x

6、＋y)(ab＋)>m对任意正实数x，y恒成立，则实xy数m的取值范围是()A.[4，＋∞)B.(－∞，1]C.(－∞，4]D.(－∞，4)1＋2＝ab，则ab的最小值为()4．(2015湖南)若实数a，b满足abA.2B．2C．22D．4a5．已知函数f(x)＝4x＋x(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.6．(2014年上海)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．7．已知x>0，y>0，且3x＋4y＝12，则xy的最大值为______．1＋2＝ab，则ab的最小值为()8.(2015

7、湖·南，7)若实数a，b满足abA.2B.2C.22D.4xy9.(2015福·建，5)若直线a＋b＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()A.2B.3C.4D.510.(2014福·建，9)要制作一个容积为34m，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A.0元B.120元C.160元D.240元x2－y211.(2015山·东，14)定义运算“?”：x?y＝xy(x,y∈R,xy≠0),当x＞0,y＞0时,x?y＋(2y)?x的最小值为__

8、______．12.（2019天津理13）设x(x1)(2y1)0,y0,x2y5，则的最小值xy为.313.(2018天津)已知a,bR，且a3b60a1．，则2b的最小值为8