第1讲基本不等式与线性规划.docx

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1、第1讲　基本不等式与线性规划【自主学习】第1讲　基本不等式与线性规划(本讲对应学生用书第24~27页)自主学习　回归教材1.(必修5P101习题2改编)若x>0，y>0，且log3x+log3y=1，则+的最小值是　　　　.【答案】【解析】由log3x+log3y=1，得x·y=3，所以+≥2=2=.2.(必修5P90习题6改编)若x，y满足约束条件则z=x+y的最小值是　　　　.　(第2题)【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.3.(必修5P91习题

2、3改编)函数y=的最小值为　　　　.【答案】【解析】设t=(t≥2)，易知y=t+在[2，+∞)上是单调增函数，所以当t==2，即x=0时，ymin=.4.(必修5P91复习题13改编)设x>-1，则函数y=的最小值为　　　　.【答案】9【解析】y==x+1++5，因为x>-1，所以y=x+1++5≥9，当且仅当x=1时取等号.5.(必修5P84习题4改编)若实数x，y满足约束条件则的最小值为　　　　.【答案】【解析】画出图象，可知最小值为原点到直线x+y-2=0的距离为.【要点导学】要点导学　各个击破运用基本不等式求最值例1　(2015·扬州期末)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则

3、x2+y2的最小值是　　　　.【分析】(1)注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y较容易，所以应消去y.(2)由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2+y2，然后将x2+y2求解出来.【答案】【解析】方法一：由x2+2xy-1=0得y=，从而x2+y2=x2+=+-≥2-=，当且仅当x=±时等号成立.方法二：由x2+2xy-1=0得1-x2=2xy≤mx2+ny2，其中mn=1(m，n>0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，令m+1=n，与mn=1联立解得m=，n=，从而x2+y2

4、≥=.变式1　若a>0，b>0，且+=1，则a+2b的最小值为　　　　.【答案】【解析】由已知等式得2a+2b+1=2ab+2a+b2+b，从而a=，a+2b=+2b=+b+≥+2=，故有最小值.变式2　(2015·扬淮南连二调)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则+的最小值为　　　　.【答案】【分析】从求解的结构上看，属于基本不等式中“1”的代换的题型.【解析】由题意得lgx>0，lgy>0，lgz>0，且z2=xy，从而lgz=(lgx+lgy)，所以+=lgz=·=+≥+·=.线性规划中的最值问题例2　(2015·盐城三模)若x，y满足约束条件则目标函数z=2x+

5、y的最大值为　　　　.(例2)【答案】6【解析】作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当目标函数过点A(4，-2)时，取得最大值z=2x+y=2×4-2=6.变式1　(2015·苏北四市期末)若实数x，y满足x+y-4≥0，则z=x2+y2+6x-2y+10的最小值为　　　　.(变式1)【答案】18　【解析】先作出不等式x+y-4≥0表示的平面区域如图所示，则z=(x+3)2+(y-1)2表示不等式x+y-4≥0表示的平面区域内的点(x，y)与定点(-3，1)距离的平方，可求zmin==18.变式2　(2015·浙江卷)已知实数x，y满足x2+y2≤1，则

6、2x+y-4

7、+

8、6-

9、x-3y

10、的最大值是　　　　.【答案】15【解答】当x，y满足x2+y2≤1时，2x+y-4<0，6-x-3y>0，设z=

11、2x+y-4

12、+

13、6-x-3y

14、，则z=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10，即3x+4y+z-10=0.由题意可知，≤1，即

15、z-10

16、≤5，所以5≤z≤15，故所求最大值为15.基本不等式模型的应用例3　(2014·南京学情调研)如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区

17、域的总面积最大?并求其最大面积.(例3)【分析】引入变量，可设休闲广场的长为xm，然后求出宽，可以将绿化区域的总面积表示成x的函数，然后利用基本不等式求最大面积，从长、宽的取值可求得x的取值范围，注意基本不等式等号成立的条件.【解答】设休闲广场的长为xm，则宽为m，绿化区域的总面积为Sm2，则S=(x-6)=2424-=2424-4，x∈(6，600).因为x∈(6，600)，所以x+≥2=120，当且仅当x=，即x=6