第5讲不等式与线性规划(教师)

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1、专题1　函数与导数、不等式第讲不等式及线性规划一.瞄准高考1.不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔bb,b>c⇒a>c.(3)加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c.(4)乘法法则：a>b,c>0⇒ac>bc.a>b,c<0⇒acb,c>d⇒a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.(7)幂运算法则：a>b>0⇒an>bn(n∈Q).2.一元二次不等式(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来,不要死记硬背,二次函数的图象是联系“二次型

2、”的纽带.(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题,通常转化为根的分布问题,求解时一定要借助二次函数的图象,一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号.3.基本不等式(1)∀a,b∈R,a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时等号成立.(2)若a,b均是正数,则≥,当且仅当a＝b时等号成立.4.线性规划问题解决线性规划问题的关键之一是弄清楚目标函数中z的含义,一般地经过变换目标函数式直线的斜截式方程后,这条直线在y轴上的截距就可以用z来表示,根据这个截距就可以确定目标函数在什么位置取得最大值和最小值.二.解析高考题型一解不

3、等式例1.已知关于的不等式,其中.(1)当变化时,试求不等式的解集；(2)对于不等式的解集,若满足(其中为整数集).试探究集合能否为有限集？若能,求出使得集合中元素个数最少的的所有取值,并用列举法表示集合；若不能,请说明理由.【解答】：(1)当时,；当且时,；当时,；(不单独分析时的情况不扣分)当时,.（2）由(1)知：当时,集合中的元素的个数无限；当时,集合中的元素的个数有限,此时集合为有限集.因为,当且仅当时取等号,所以当时,集合的元素个数最少.此时,故集合.【变式】(2009·天津卷)设0(ax)2的

4、解集中的整数恰有3个,则a的取值范围是.【解析】∵(x－b)2>(ax)2,∴(a2－1)x2＋2bx－b2<0,要使x的解集中恰有3个整数,必须有a2－1>0.又a＋1>0,∴a>1.不等式变形为[(a－1)x＋b][(a＋1)x－b]<0.∵a>1,b>0,∴>0,0<<1,∴

5、y＝＝＝＝t＋＋1.∵t≥1,∴t＋≥2＝2,当且仅当t＝,即t＝1时,等号成立.∴当x＝0时,函数取得最小值3.【探究提高】(1)利用基本不等式求最值,关键是把握基本不等式成立的三个条件(正、定、等),在利用基本不等式求某些函数最值时,需注意函数的解析式或变形式能够符合基本不等式使用的前提条件和实际问题的要求.(2)本例中,若y＝,则t＝x2＋2∈[2,＋∞),y＝t＋－1的最小值不能用基本不等式求得,只能借助函数的单调性求解.【变式】(2010·山东卷)若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.【解析】∵a≥＝对任意x>0恒成立,设u＝x＋＋

6、3,∴只需a≥恒成立即可.∵x>0,∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号).由u≥5知0<≤,∴a≥.本题以不等式恒成立为背景考查了基本不等式、二次不等式恒成立等问题.若将问题转化为求的最大值,可作如下变形：＝≤；若将问题转化为：ax2＋(3a－1)x＋a≥0对任意x>0恒成立,则利用二次不等式恒成立解决.体现了转化与化归的数学思想方法.题型三　含参不等式恒成立问题例3设函数f(x)=ex-.(1)证明:f(x)的导数f¢(x)2;(2)若对所有的x³0,都有f(x)³ax,求a的取值范围.解：（Ⅰ）的导数．由于，故．（当且仅当时，等号成立）．（Ⅱ）令，

7、则，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．（ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．【探究提高】已知不等式恒成立求参数范围的问题,涉及函数、方程、不等式,综合性强,常利用以下结论解决:若f(x)>m对任意x∈D恒成立,则f(x)min>m；若f(x)m(x2－1)对满足

8、m

9、≤2的所有实数都成立,求x的取值范围.【解析】不等式变为m(x2－1)－(2x－1)<0,即f(m)＝m(x2－1)－(

10、2x－1)<0在{m

11、－2≤m≤2}上恒成立,故解得