浅析简谐运动的判断与周期的求法

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1、浅析简谐运动的判断与周期的求法　　简谐运动是机械振动中最简单最基本的一种运动形式。根据中学物理教学大纲的要求，现行高中物理课本中主要分析了简单的弹簧振子和单摆的基本的运动规律。　　为了开发学生智力，扩大学生视野，笔者在教学过程中对简谐运动的判断和周期的求法通过典型举例进行了扩展，促进了这部分内容的教学效果。　　物体做简谐运动的条件（或特征），是它在运动中受的回复力与位移（对平衡位置而言）正比反向，即F=-kx　　或者它在运动中的加速度为　　如果物体在运动中满足上面二式中的一个，就可判断这一物体在做可求出振动的周期。

2、　　分析解决此类问题的一般步骤是：　　1．确定（研究对象）振动物体和平衡位置，对振动物体进行受力分析；　　2．求出振动物体离开平衡位置在某任意处受的回复力F，得出F=-kx　　[例]一个劲度系数为k竖直放置的轻弹簧下端悬挂一个质量为m的小球。用力将小球从静止位置拉下距离x，然后放手。（1）小球是否做简谐运动？（2）求小球的振动周期。空气阻力忽略不计。　　分析：当弹簧振子水平放置时，重力与振动方向垂直，回复力仅为弹力，分析时可以不考虑重力。现在，弹簧振子竖直放置，重力就在振动方向上，所以回复力是重力和弹力的合力。第4

3、页共4页　　解：（1）设没挂小球时，弹簧的原长为l，下端在O点处，如图1所示。悬挂小球后，弹簧伸长△l，下端静止在O'点处。选向下为坐标轴的正方向，小球静止时受到的合力为零，此处就是平衡位置。有　　mg-k△l=0，或mg=k△l。　　在振动过程中，小球在平衡位置以下x时，弹簧的伸长为△l+x，小球的位移为x。这时小球受到的合力　　F=mg-k(△l+x)=mg-k△l-kx=-kx　　对于平衡位置O'点，小球受到的合力与位移成正比且方向相反。同理，小球在O'点以上，受到的合力同样与位移正比反向，符合简谐运动的条件

4、。所以小球是做简谐运动。　　（2）此振动的回复力系数仍为k，所以　　由此看出，对于竖直放置的弹簧振子，是以O'为平衡位置做简谐运动。此时O'点为回复力的零值点，若把回复力当作弹簧的弹力看待，即把O'点当作弹力和弹性势能的零值点，就可不再考虑重力的作用，而直接用F=-kx来求振子离开O'点位移为x时受到的回复力。　　[例2]一边长为a的正方体静止浮于密度为ρ的液体的液面上，浸在液面下的部分恰为正方体的一半。现将正方形竖直向下按一段距离x(x＜a/2)，然后释放，试判断正方体的运动是否为简谐运动，并求出振动周期。设水的

5、阻力不计。　　解：设正方体的密度为ρ1，当它静止浮于液面时，受到重力ρ1a3g和浮力ρa3g/2。据共点力的平衡条件，正方体所受合外力为零，　　将正方体从静止时的平衡位置竖直按下x且释放后，它受到的浮力第4页共4页　　　　　　式中ρa2g为恒值，说明正方体受的回复力与位移正比反向，满足简谐运动的条件，因此正方体的振动是简谐运动。　　由（3）式知k=ρa2g　　[例3]试证明在光滑斜面上自由下滑的小车上的单摆（如图2），摆　　　证明：此单摆的平衡位置在过悬点与斜面垂直的方向上，摆球在平衡位置时受力如图3所示。显然重力

6、的法向分为G=mgcosθ　　设摆球离开平衡位置的位移为x，则第4页共4页　　　　故此单摆为简谐运动。且k=mgcosθ/l　　　　　另外，高空中的单摆；匀加速运动的升降机中的单摆；匀强电场中带电小球的单摆等，都与此题类似。若只求振动周期，可根据单摆的周公式即可。第4页共4页