简谐运动的证明与周期计算.doc

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1、简谐运动的证明与周期计算徐汇区教师进修学院张培荣当物体所受回复力符合f＝－kx时，物体的运动就是简谐运动，简谐运动的周期为T＝2p，当物体运动的时间是周期的整数倍，或是由最大位移运动到平衡位置，就可以直接利用周期公式进行计算，如果不是这种情况，那就要利用单位圆来计算了，关于单位圆，我们另外写文章给大家介绍，这里就计算两个前一类的问题。例1：一长列火车因惯性驶向倾角为a的小山坡，当列车速度减到零时，列车一部分在山坡上，还有一部分仍在水平地面上，试求列车从开始上山到速度减到零所经历的时间，已知列车总长为L，摩擦不计。

2、分析与解：在上山的过程中，设某时刻列车质量为M，在山上的长度为x，则列车所受的阻力为gsina，考虑到与运动方向相反，所以可以写成f＝－gsina，它符合f＝－kx，其中k＝gsina，那么列车的这段运动可以看成是简谐运动的一部分，刚好从最大速度位置运动到最大位移处，时间为四分之一周期，则t＝＝＝＝。例2：如果沿地球的直径挖一条隧道，求物体从此隧道一端释放到达另一端所需时间。设地球是一个密度均匀的球体，其半径为R，地面的重力加速度为g，不考虑阻力。分析与解：在运动过程中，设某时刻物体离地球球心为x，地球质量为M，

3、我们可以把地球分成一个半径为x的球体和一个内半径为x、外半径为R的球壳，球壳对壳内物体的万有引力为零，球体对球外物体的万有引力可以把球体看成质点，其质量集中于球心，此球的质量为：则此时物体所受地球的万有引力指向地心，大小为F＝G＝G，考虑到力的方向与位移方向相反，所以F＝－G，它符合f＝－kx，其中k＝，那么物体的运动是简谐运动，所求时间就是半个周期，则t＝＝p＝p＝p。由于G＝mg，所以GM＝R2g，可得：t＝p。其实，在中学阶段，凡求变加速运动的时间，只有两种可能，一是椭圆运动，二是简谐运动，都是利用周期公式

4、进行计算的，所以不要只看形式，而是要分析它的受力情况，当所受力与距离平方成反比时，物体常做椭圆运动，当物体受力与位移成正比时，常做简谐运动。