换元法在高中数学解题中的应用-高中数学解题方法

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1、03、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有

2、广泛的应用。换元的方法主要有：（1）局部换元。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。（2）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号

3、的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。（3）均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。一、方法简解：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x＋1)＝log(4－x)（a>1），则f(x)的值域是_______________。3.已知

4、数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。5.方程＝3的解是_______________。6.不等式log(2－1)·log(2－2)〈2的解集是_______________。二、举例分析：例1.实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5（①式），设S＝x＋y，求＋的值。（93年全国高中数学联赛题）例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全国理）y,,－x例3.设a>0，求f(x)＝2a(

5、sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。例4.设对所于有实数x，不等式xlog＋2xlog＋log>0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）例5.已知＝，且＋＝(②式)，求的值。例6.实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。三、巩固训练：1.已知f(x)＝lgx(x>0)，则f(4)的值为_____。A.2lg2B.lg2C.lg2D.lg42.函数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是______。A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)C.(-∞,-1]1.设等差数列{a}的公差d＝，且S＝1

6、45，则a＋a＋a＋……＋a的值为_____。A.85B.72.5C.60D.52.52.已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。3.已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则＋的范围是____________。4.不等式>ax＋的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。5.函数y＝2x＋的值域是________________。6.在等比数列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。7.实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。

7、8.已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x＋y＝2(x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。yDCABOx