高中数学解题方法-换元法

高中数学解题方法-换元法

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1、高中数学解题方法2013年高考数学二轮复习换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式

2、、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有:代数换元、三角换元、均值换元等。例如解不等式:,先变形为设,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=+的值域时,易发现,设,问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量适合条件时,则可作三角代换化为三角问题。均值换元,如遇到形式时,设等等。我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范

3、围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。题型一:代数换元例1:(1)方程=3的解是_______________(2)的值域是___________.(3)的解为_____________________________.变式练习:已知,则_________________。例2 求函数的值域。解 设,则,,.在平面直角坐标系中,点是圆弧上的点,如图所示。第5页2013.3.20,所以P表示点到直线的距离的2倍。过点作直线的平行线,则P表示直线与的距离的2倍。设平行直线与的距离为.则当过

4、点A时(直线),取最小值1,此时;当与圆弧相切时(直线),取最大值2,此时. 所以函数的值域为.此题通过做的代换,问题转化为两直线距离问题,简明直观。当然由,,可设则是三角换元。题型二:均值换元例1:(1)已知,求的最小值(2)设实数满足,则的取值范围是___________。例2 已知是正数,求证证明 设,则.所以例3 已知. 求证:.证明:由,可设.于是第5页2013.3.20例4.△ABC的三个内角A、B、C满足:,+=-,求的值。【分析】由已知“”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得;由“°”进行均值换元

5、,则设,再代入可求即。【解】由△ABC中已知A+C=2B,可得,由A+C=120°,设,代入已知等式得:+=+=+===-2,解得:cosα=,即:cos=。题型三:三角换元例:1: 实数满足,设,求的最大值和最小值。解 设,则,所以所以当时,;当时,.例2: 已知,,求的最大值。解 由,可设;由,可设.于是第5页2013.3.20又当时,上式中等号成立。即的最大值是6.例3.求函数的值域。解:令,则:∵当t时∴,∴值域为例4.已知,且,求证:。证明:设,其中则。原不等式得证。题型四:解析几何中换元法的运用1.已知实数

6、满足,求的最大值与最小值。2.已知椭圆,直线,椭圆是是否存在一点,它到直线的距离最小?最小距离是多少?3.已知的最大值。解:令;易得;令;所以第5页2013.3.204.双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.(Ⅰ)求双曲线的离心率;(Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.(Ⅰ)设,,解:由勾股定理可得:得:,,由倍角公式,解得,则离心率.(Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立将,代入,化简有将数值代入,有,解得故所求的双曲线方程为。第

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