高中数学解题方法-换元法

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1、高中数学解题方法2013年高考数学二轮复习换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、

2、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：代数换元、三角换元、均值换元等。例如解不等式：，先变形为设，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现，设，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量适合条件时，则可作三角代换化为三角问题。均值换元，如遇到形式时，设等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标

3、准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。题型一：代数换元例1：（1）方程＝3的解是_______________（2）的值域是___________.(3)的解为_____________________________.变式练习：已知，则_________________。例2　求函数的值域。解　设，则，，.在平面直角坐标系中，点是圆弧上的点，如图所示。第5页2013.3.20，所以P表示点到直线的距离的2倍。过点作直线的平行线，则P表示

4、直线与的距离的2倍。设平行直线与的距离为.则当过点A时（直线），取最小值1，此时；当与圆弧相切时（直线），取最大值2，此时.　所以函数的值域为.此题通过做的代换，问题转化为两直线距离问题，简明直观。当然由，，可设则是三角换元。题型二：均值换元例1：（1）已知，求的最小值（2）设实数满足，则的取值范围是___________。例2　已知是正数，求证证明　设，则.所以例3　已知.　求证：.证明：由，可设.于是第5页2013.3.20例4．△ABC的三个内角A、B、C满足：，＋＝－，求的值。【分析】由已知“”

5、和“三角形内角和等于180°”的性质，可得；由“°”进行均值换元，则设，再代入可求即。【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得,由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：＋＝＋＝＋＝＝＝－2,解得：cosα＝，即：cos＝。题型三：三角换元例:1：　实数满足，设，求的最大值和最小值。解　设，则，所以所以当时，；当时，.例2：　已知，，求的最大值。解　由，可设；由，可设.于是第5页2013.3.20又当时，上式中等号成立。即的最大值是6.例3.求函数的值域。解：令，则：∵当t时∴，∴值域为例4.已知，且，求

6、证：。证明：设，其中则。原不等式得证。题型四：解析几何中换元法的运用1.已知实数满足，求的最大值与最小值。2.已知椭圆，直线，椭圆是是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？3.已知的最大值。解：令；易得；令；所以第5页2013.3.204.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．（Ⅰ）设，，解：由勾股定理可得：得：，，由倍角公式，解得,则离心率．

7、（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立将，代入，化简有将数值代入，有,解得故所求的双曲线方程为。第5页2013.3.20