椭圆及其标方程教学二.doc

《椭圆及其标方程教学二.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、“椭圆及其标准方程”教学二1.实验操作，归纳定义教师：椭圆是一个很美的图形，在生活中我们经常接触到这样的图形，谁能举出实例？学生：大到天体运动，人造卫星轨迹；小到把一个圆柱形水杯倾斜时水面的外观形象等。教师：你举出的这些实例非常好！你对椭圆的形状都有一些什么感觉？学生：最直观的感觉是把圆压扁成椭圆。图3图1（）图2（课前让每位学生准备一个可以压缩的弹性圆模型，一段线条，两个图钉，一张硬纸板，一支铅笔）教师：我们一起做个实验，假设弹性圆是如图1，其半径与不弯曲的线段和完全重合，两线段可以绕转到，另两端点、可以分开，我将图1

2、中的弹性圆从点处竖直向下压，、两点在轴上从原点同时分开，把圆压扁成了椭圆，变成图2，大家注意图2中的定点、的产生过程。.教师追问：此时的椭圆中，线段、、及与圆有什么联系？学生：它们的长度是圆的半径。教师：设，，，则它们三者之间有什么关系？学生：（这样可以使来得自然些）教师：可见，在椭圆上点满足：，那么在椭圆上取其它点，如图3，是否也满足：？教师：请大家拿出线条，选取线条长为（即）用两个图钉钉住线条两端在定点、，请你们画一画是什么样的轨迹？学生：轨迹与压扁后的椭圆曲线重合。教师追问：这说明什么？学生：说明椭圆上任一点到两个

3、定点、的距离之和都是常数。教师追问：你能归纳出椭圆的定义吗？学生：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹（教师在黑板上写出学生总结的椭圆定义）教师：很好，我们改变一下、的位置，大家再画一画，看一看椭圆的情形？学生4：、位置越近椭圆越圆，、位置越远椭圆越扁。教师：这位同学总结得很好，能否说明的更具体些呢？教师：（启发）根据线条长与两定点、的距离具体说明轨迹情形？学生：（1）当时，轨迹为椭圆。（2）当时，轨迹是一条线段，是以、为端点的线段。（3）当时，无轨迹。（4）当时，轨迹为圆。教师：下面请同学们再看看椭圆的定义

4、，有无补充。学生：椭圆是平面上到两定点、的距离之和为常数的动点的轨迹，其中。教师：（黑板上用彩笔写上：其中）补充得很好，这里我们把、叫做椭圆的焦点，、的距离叫做焦距，记作。2.类比探究，建坐标系教师：上一节我们学习了“曲线与方程”，请同学们回忆求曲线方程的步骤是什么？学生9：建（系）—设（点）—限（约束条件）—代（入）—化（简），教师：很好，求曲线方程步骤，简单讲就是：建设现（限）代化，教师追问：能否类比圆的标准方程建立过程，判断“选择适当的直角坐标系”的标准是什么？学生：使方程简单。教师再追问：如何会使方程简单？学生：

5、利用图形的几何特征。教师：圆和椭圆的几何特征是什么？学生：主要是对称。教师：看来选择适当的直角坐标系，就是利用曲线的对称性，将对称轴作为坐标轴上，尽可能多的已知点放置于坐标轴上。教师追问：椭圆的对称轴在哪里？学生：有两条互相垂直的对称轴，一是连结两定点、所在直线；二是线段的垂直平分线。教师：你是如何发现的？学生：我发现将画的椭圆沿直线和线段的垂直平分线对折重合。教师：经过以上探究，类比圆的标准方程建立过程，椭圆的标准方程相应的直角坐标系应取两条互相垂直的对称轴为坐标轴。教师追问：对称轴：直线和线段的垂直平分线，哪一条为轴

6、？哪一条为轴呢？学生：以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴为好。教师追问：为什么？（教师在黑板上画出这种直角坐标系，图4（Ⅰ））学生：我感觉这样好，至于为什么？我也说不清楚。学生：以线段的垂直平分线为轴，所在直线为轴为好。教师追问：为什么？（教师也在黑板上画出这种直角坐标系，图5（Ⅱ））学生：我感觉，这样也可以吧，我也说不清楚。教师：为了选择，我们来看一下（Ⅰ）、（Ⅱ）的相同点及不同点。学生：相同点；均是以、中点为坐标原点，以为坐标轴，不同点所在的坐标轴不同。图5（Ⅱ）图4（Ⅰ）教师：是的，它们只不过坐标轴不同，因此只要

7、把（Ⅰ）焦点在轴的方程中和互换，即可得到（Ⅱ）焦点在轴的方程，所以，选择直角坐标系（Ⅰ）、（Ⅱ）我们可以得到一样的最简方程，即椭圆的标准方程。3.研究算式，化简方程教师：根据以上分析，我们只要求（Ⅰ）焦点在轴的椭圆标准方程即可。请大家求出椭圆的方程。学生：（学生口述，教师板书）如图4（Ⅰ），以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系。设是椭圆上任意一点，椭圆的的焦距为（），那么焦点、的坐标分别为、，又设与、的距离的和等于，由椭圆的定义，椭圆就是集合，因为，，所以，为化简这个方程……教师插话：按照求曲线方程步骤：

8、建（系）—设（点）—限（约束条件）—代（入）—化（简）。即建设现（限）代化，已经完成“建设现代”了，还有“化”没有完成，请大家八仙过海各显神通，完成式子的化简任务。（学生交流、讨论，动笔演算，教师巡视）教师：（通过巡视，发现同学们都在使用两种化简方法）我请两位同学甲和乙到黑板板演你的化简过程。（甲、乙演算有困难时，教