巧用[x]≤x＜[x]+1解线性高斯方程.doc

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1、巧用[x]≤x＜[x]+1解线性高斯方程陕西省小学教师培训中心王凯陕西省安康教育学院何加强近年来，初中数学竞赛试题中常常见到关于高斯函数[x](高斯函数[x]表示不大于x的最大整数，{x}=x－[x])的线性方程ax+b[x]=c或ax+b{x}=c(ab≠0)。对这类方程，只要巧用[x]≤x＜[x]+1就可以快速求解。例1若[x]表示不超过x的最大整数，则方程3x+5[x]－49=0的解是_______。(1991年湖北黄冈地区初中数学竞赛试题)解：x=故有[x]≤＜[x]+1，即＜[x]≤，由[x]∈Z知：[x]=6，故x=。例2x+2{x}=3[x]的非零解是_______

2、_。(1991年太原市初中数学竞赛试题)解：由{x}=x－[x]知原方程可化为x=[x]，故[x]≤[x]＜[x]+1，即0≤[x]＜，从而有[x]=0或1，但x≠0，由x=[x]推知[x]≠0，所以[x]=1，x=。例3解方程：πx+{x}=。解：由{x}=x－[x]有：(π+1)x－[x]=，即x=，故[x]≤＜[x]+1，＜[x]≤。从而知[x]=0或1，x=或x=。例4[3x+1]=2x－。(1987年全国初中数学竞赛试题)解：令3x+1=t，则x=。原方程为：t=。故[t]≤＜[t]+1，≤[t]＜，但[t]∈Z，所以[t]=－3或－2。t=或t=。从而知x=或x=。例

3、5已知方程[x－1]=x－53。(1987年青岛市初中数学竞赛试题)解：令=t，则x=。原方程为t=，即有[t]≤＜[t]+1。1＜t]≤5。故[t]=2、3、4、5，但x=[t]+3，从而知x=5、6、7、8。例6[－1.77x]=[－1.77]x。(1987年四省市联合初中数学竞赛试题)解：由[－1.77]=－2有：[－1.77x]=[－2x。令－1.77x=t，则t=，即有[t]≤＜[t]+1。，故[t]=－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1、0。但x=，所以x=4、、3、、2、、1、、0。例7满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数解x的个数是()。

4、A.1B.2C.3D.4(1988年江苏省初中数学竞赛试题)解：由[－77.66]=－78知：[－77.66x]=－78x+1。令－77.66x=t，则t=([t]－1)，即有：[t]≤([t]－1)＜[t]+1，－457＜[t]≤。所以[t]=－457、－456、－455、…、－229、－228，但x=∈Z，只有当[t]=－389、－311、－233时x才是整数。X=3、4、5。选择C。对于一般情况ax+b[x]=c(a>0,b≠0)的求解如下。解：因x=（*），故[x]≤＜[x]+1，即(a+b)[x]≤c＜(a+b)[x]+a。(1)当a+b>0时，。由[x]∈Z定出[x]

5、的值来，然后由（*）确定其解。(2)当a+b<0时，。由[x]∈Z定出[x]的取值，后由（*）定其解。(3)当a+b=0时，原方程为a{x}=c。若0≤c＜a，原方程有无数个解为x=+t(t∈Z)；若c＜0或a≤c，原方程无解。本文发表于《中学数学教学参考》1992年第1~2期P25,26。