复变函数留数和保形映射部分复习自测题

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1、复变函数留数和保形映射部分复习自测题一、仔细体会孤立奇点处留数的计算方法（包括有限孤立奇点和无穷孤立奇点），并计算下列函数在指定点的留数：1、，，，（为整数），指定点为和；2、，，，，（为整数），指定点为和；3、在和，在和；4、（）在，和.二、仔细体会留数定理和含无穷远点的留数定理（即留数定理的推广），并合理利用它们计算下列复积分：1、；2、（为正整数）；3、.三、仔细体会课本上列举的用留数计算实积分的方法，并计算下列实积分：1、设且，计算；.2、计算，和，.3、；4、，.5、（）；（）6、；.7

2、、；.四、设为函数的阶零点或极点，则为函数的什么点，五、仔细体会对数留数的计算公式，幅角原理和儒歇定理，熟练掌握利用儒歇定理讨论区域内解析函数零点分布的方法，并利用此方法解决下面的问题：1、（1）指出方程在内的根的个数；（2）指出方程在内的根的个数，其中.2、（1）指出函数（）在内的零点个数；（2）指出函数（其中在上解析，在上）在内的零点个数；六、熟悉单叶解析函数导数恒不为零的证明方法（即利用课本第6章引理1.1来证明的方法），并利用此方法证明解析函数的局部单叶性定理“若在点解析，且，则存在的某邻

3、域，使得在内单叶解析.”七、了解解析映射的保域性，保角性，保形性的含义，并利用保域性证明下面的两个命题：1、若函数在区域内解析，且满足下面的条件之一：（1）在区域内，常数或常数；（2）在区域内，常数；（3）值域含与平面上的一条曲线.则在区域内，常数.2、若函数在区域内解析，，，则在区域内，常数.八、熟悉分式线性函数的保形性，保圆周性，保交比性和保对称点性的含义，并利用这些性质分别求出满足下面要求的分式线性函数：1、将上半平面保形映射成单位圆，且，其中，并指出此函数将下半平面保形映射成何区域；若要将

4、下半平面保形映射成单位圆，应如何对此函数进行适当修改？2、将单位圆保形映射成单位圆，且，其中，并指出此函数将保形映射成何区域；若要将保形映射成单位圆，应如何对此函数进行适当修改？3、（1）满足，，；（2）满足，，.九、仔细体会与，与的映射特点，并应用这些特点及分式线性函数的特点求下列保形映射：1、将上半单位圆：且保形映射成上半平面（单位圆）；2、将两内切圆周围成的区域：且保形映射成上半平面（单位圆）.十、了解关于解析映射的黎曼存在定理和边界对应定理的内容，熟练掌握施瓦茨引理，并利用施瓦茨引理解决下

5、面的问题：P131页第10、11题.