第5章 积分及其应用

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1、第5章积分及其应用5.1不定积分5.1.1不定积分的概念与性质1．原函数概念定义在某区间上，若有，则称函数是在该区间上的一个原函数.例如，在区间（－∞，＋∞）上有，于是是在该区间上的一个原函数；不难看出，，，（为任意常数）都是的原函数．一般地，若是在区间上的一个原函数，（为任意常数）都是在区间上的原函数，而且的所有原函数可表示为（为任意常数）．例1求函数的一个原函数．例2求函数的所有原函数．2．不定积分的定义定义函数的所有原函数称为的不定积分，记作其中“”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变

2、量.　　由定义可知，若是的一个原函数，即，则，其中是任意常数，称为积分常数．由例2可知，这是幂函数的不定积分公式，凡幂函数的不定积分可直接由此求出．如：，，，，，，等等．例3求函数的不定积分．例4求函数的不定积分．3．不定积分的性质性质1不定积分与导数（微分）的互逆性质（1），即：一个函数先进行积分运算，再进行求导运算，两者作用相互抵消，得到的是这个函数本身；（2），即：一个函数先进行求导运算，再进行积分运算，得到的是这个函数本身加上任意常数．性质2不定积分的运算性质（1），即：被积函数中不为零的常数因子可

3、以提到积分符号的前面；（2），即：两个函数代数和的不定积分等于各个函数的不定积分的代数和．这一结论可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形，即．例5求下列不定积分：（1）；（2）；（3）．例6某产品在时刻（小时）的总产量的变化率为，且已知时产量为0，求此产品的产量与时间的函数关系．5.1.2不定积分的基本积分公式不定积分是求导（或微分）的逆运算，根据基本初等函数的导数公式可得到相应的不定积分公式．例如，由导数公式，有，所以．类似可以得到其它基本积分公式．，为方便记忆，下面将基本初等函数的导数公式及其对应的基

4、本积分公式同时列出，如表1所示．表1序号基本积分公式基本初等函数的导数公式12，，34，，567891011例1求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）．例2求．例3求．例4设某商品的需求量是价格的函数，最大需求量为5000（即价格为0时的需求量是5000）．已知边际需求为，求需求量与价格的函数关系式．例5某产品边际成本函数，已知10000件产品的总成本是1200百元，求总成本函数．5.1.3不定积分的积分方法1．直接积分法直接运用不定积分的基本积分公式和不定积分的运算性质（有时需先对被积函数作简单的

5、恒等变形）求不定积分的方法，称为直接积分法．利用直接积分法所能求出的不定积分是非常有限的，下面介绍不定积分的换元积分法和分部积分法，它们是最常用的积分方法．2．换元积分法为了计算积分，可以将微分凑成，使变量一致为，即（凑微分）（变量替换）（求不定积分）（变量还原）．一般地，有．称以上这种积分方法为第一换元积分法，又称为凑微分法．例1求不定积分例2求．例3求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）．第一换元法是把以为积分变量的积分通过变换而变为关于积分变量的积分，但有时，情形恰好相反．．这种积分法称为第二

6、换元积分法，主要解决含根式函数的积分，即选择一种替换法消除根号，使积分由难变易．例4求不定积分．3．分部积分法设函数，具有连续导数，则此式称为分部积分公式，这一公式说明，如果计算积分较困难，而积分易于计算，则可以使用分部积分法计算．使用该公式的关键是如何选择和，一般地，的选择应使易于求得，且比易于计算．例5求不定积分：（1）；（2）；（3）．5.2定积分5.2.1定积分的概念与性质1．问题的提出（1）曲边梯形的面积如图6-1，在直角坐标系中，由连续曲线与直线以及轴围成的平面图形称为曲边梯形．如何求曲边梯形的

7、面积A呢？我们采用极限方法，即先求近似值，通过“无限接近”，导出准确值，具体做法如下：①分割用个分点将区间分割成个小区间，以表示第个小区间的长度．过分点作轴的平行线，则将曲边梯形分割成了个小曲边梯形（如图6-2所示）．②近似任取，在每个小曲边梯形中“以直代曲”，以为高、为底的矩形面积近似代替第个曲边梯形的面积，即．③求和将个小矩形的面积加起来，便得到整个曲边梯形面积的近似值，即．④取极限分割越细，近似值越精确，当各小区间的长度最大者趋向于0时，上述和式的极限便是曲边梯形面积的精确值，即．（2）变速直线运动的

8、路程设某物体沿直线作变速运动，其速度是时间的函数，则从时间到这段时间内此物体所走过的路程是．（3）非均匀生产的总产量设某一生产过程的总产量对时间的变化率（即边际产量）为，则从时刻起到时刻的总产量是．上述三例的实际意义完全不同，但解决问题的方法和数量关系是一个模式，即①任意分割；②以直代曲或以常量代变量求局部的近似值（微元）；③作讨论范围内近似值的和；④求最大分割小区间长度趋于零的极限．大量的这类问题就是定积分概念