第4章+积分及其应用

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1、第4章积分及其应用重点：积分的计算定积分的应用难点：积分的计算定积分的应用4.1定积分4.1.1微积分的典型问题之二把它们的面积加起来,得曲边梯形的面积4.1.2定积分概念积分号定积分的几何意义与x轴所围成的各个曲边梯形面积的代数和.且合理规定定积分的几何意义的应用4.1.3可积的充分条件若f(x)在区间[a,b]上连续或分段连续,则f(x)在[a,b]上可积.用定积分表示和式极限可以证明,若函数f(x)在[0,1]上可积,则例用定积分表示和式极限4.2定积分与原函数的关系4.2.1直观背景4.2.2原函数与不定积分积分号被积函数积分变量积分常数f(x)dx称为被积表

2、达式不定积分的基本性质常用积分表4.2.3微积分基本定理练习计算下列定积分变上限积分函数的微商4.3定积分的性质区间可加性的应用估值定理的应用定积分为常数于是c=2+2c,c=2f(x)=x24.4积分法4.4.1直接积分法直接积分法举例4.4.2换元积分法换元积分法与复合函数的微分法相对应.第一类换元积分法(凑微分法)特别地有线性凑微分法举例明显凑微分法举例=ln

3、f(x)

4、+C三角函数的积分举例=ln

5、cosx

6、+ln

7、sinx

8、+C=ln

9、tanx

10、+C练习计算⑴sin3xcos2xdx⑵sin2xcos3xdx有理函数的积分两个多项式的商所表示的函数称为

11、有理函数.有理函数的积分法总原则是先化为真分式,然后尽量化为部分分式.此处只讨论下列两种类型.⑴用待定系数法化为部分分式⑵消除a有理函数的积分举例八仙过海例⑴=ln

12、secx+tanx

13、+C第二类换元积分法常用的换元法如下.被积函数含有换元方法三角换元法举例⑴三角换元法举例⑵=ln

14、sect+tant

15、+C三角换元法举例⑶=ln

16、sect+tant

17、+C第二类其它换元法举例⑴第二类其它换元法举例⑵万能公式=ln(1+t2)+C=ln[1+tan2(x/2)]+C定积分的换元积分法第一类换元积分法(凑微分法)第二类换元积分法定积分的换元法举例例计算解①令x=t2,则dx

18、=2tdt,=2arctant

19、32=2arctan32arctan2②=2arctan32arctan2常量与变量问题于是两边对x求微商,得令x=1,得对称区间[a,a]上的定积分对称区间上的定积分举例其他针对积分区间的换元法4.4.3分部积分法分部积分法与积的微分法相对应.d(uv)=vdu+udvudv=d(uv)vdu“反对幂指三”法：“幂指三”分部积分法=x2sinx+2xcosx2sinx+C练习计算“反对幂”分部积分法=(x+1)ln(x+1)x+C=(x+1)ln(x+1)x+C循环法例计算sec3xdx解sec3xdx=secx·sec

20、2xdx=secxdtanx=secxtanxtanxdsecx=secxtanxtan2xsecxdx=secxtanx(sec2x1)secxdx=secxtanxsec3xdx+secxdx=secxtanxsec3xdx+ln

21、secx+tanx

22、+Csec3xdx=[secxtanx+ln

23、secx+tanx

24、]+C递推公式法例计算In=sinnxdx解In=sinn1xdcosx=[cosxsinn1x]cosxdsinn1x+=(n1)sinn2xcos2xdx=(n1)sinn2x(1sin2x)dx=(n1)In2

25、(n1)In4.5定积分的应用4.5.1反常积分为b这就是所求“无穷曲边梯形”的面积.把这极限理反常积分一般通过直接计算,判定反常积分的敛散性.反常积分的计算方法伽玛函数概率密度函数4.5.2面积、体积、弧长的计算定积分的微元法则从而平面图形的面积平面图形区域的分类直角坐标下的面积公式微元法微元法x型区域举例例计算椭圆=1的面积.y型区域举例解抛物线与直线的交点为(2,2),(8,4).S=(y+4y2/2)dy=18极坐标下的面积公式Ox微元法双纽线在1周内取k=0,1得,旋转体的体积微元法圆锥体的体积例求高为h,底半径为r的正圆锥体的体积.解建立坐标

26、系如图所示,xyOhP(h,r)直线OP的方程为y=xrh所求体积可看成直线OP与x=h,y=0所围图形绕x轴旋转而成.平面曲线的弧长xyOaby=f(x)xABC⑴直角坐标下的弧长公式⑵参数方程下的弧长公式⑶极坐标下的弧长公式4.5.3定积分在经济管理与社会科学中的应用需求曲线供给曲线均衡点均衡数量均衡价格最低限价最高限价第4章重要概念与公式和式极限:若f(x)在[0,1]上可积,则变上限的积分函数的微商微积分基本定理常用积分表换元积分法第一类换元法第二类换元法分部积分法“幂指三”“反对幂”微元法平面图形的面积旋转体的体积积分与极限的混合运算和式极