积分及其应用(1)

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1、第三讲积分及其应用考纲要求1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法.3.会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式.5.了解广义积分的概念，会计算广义积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积已知的立体的体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值.一、不定积分问题1不定积分的概念

2、与性质答考纲要求理解原函数、不定积分的概念，掌握不定积分的性质.1.概念定义1如果在区间上，有或者，则称为在区间上的原函数.定义2的全体原函数称为的不定积分，记作.▲它们的关系是：如果为的一个原函数，则.上式表明：求不定积分，只要求出它的一个原函数，再加上任意常数.2.性质：性质1（互逆性）如果不计任意常数，求导运算和积分运算是互逆的，即（先积后导还原了）（先导后积还原）性质2（线性性）.例题1.若，则.【】1012.已知，则.【】3.已知的一个原函数为,则.【】4.下列命题中不正确的是（）.【B】(A)若为连续的奇函数，则其

3、原函数为偶函数(B)若为连续的偶函数，则其原函数为奇函数(C)若为可导的奇函数，则其导函数为偶函数(D)若为可导的偶函数，则其导函数为奇函数解由知，连续的奇函数的原函数全为偶函数，连续的偶函数的原函数中，只有一个为奇函数，故选择A.▲求导改变函数的奇偶性.证明如下：若，则，即.▲积分改变函数的奇偶性.证明如下：记，若，则.问题2常用的积分公式答常用的积分公式有22个，它们是：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；101（14）；（15）；（16）；（17

4、）；（18）；（19）；（20）；（21）（22）▲其中三角函数的积分公式10个，与二次式有关的积分公式7个.问题3如何用凑微分法求不定积分？答凑微分法是由复合函数求导法则导出的积分方法，适用于计算形如的积分.定理设有积分公式，则.▲凑微分型积分特点：，关键是凑微分，即将凑成微分，从而积分，其中是22个函数之一；▲在运用凑微分法求不定积分时，请记住下面的口诀：根据复合抓住，凑完微分配系数；使用公式要准确，积分消失加常数；特殊情形有两个，就是和倒数：，例题1.【】2.【】1013.【】4.【】5.【】6.【】问题4如何用第二类换

5、元法求不定积分？答逆用凑微分公式，就得到第二类换元法.定理设连续，单调、可导且连续，则.▲当被积函数含时，用三角代换；▲当被积函数含，，时，令，，；▲当被积函数分母次数较高时，令.例题1.【】2.解（方法一）令，当时，，当时，.（方法二）令，101当时，，当时，.（方法三）当时，，当时，3.【】4.解令，.问题5如何用分部积分法求不定积分？答分部积分公式由乘积求导法则导出，用于计算形如的积分.具体步骤如下：（凑微分）（用公式）（算微分，求积分）关键是凑微分.▲分部积分型积分特点：，被积函数为“反对幂指三”五类函数的乘积，下面的

6、积分都是典型的分部积分题：101分部化简型：；；；.分部还原型：；；.分部递推型：，.分部抵消型：.可以这样说，凡是“反对幂指三”五类函数的乘积，只要不是凑微分题，都可以考虑用分部积分法计算.▲使用分部积分法求不定积分时，请记住下面的口诀：可凑尽量凑，不可不强求，反对幂指三，逆序找函数；一乘一交换，判别难易度，难度若降低，积分可以求；难度若相当，还原有希望，分部若降次，可得递推式；积分积不出，分部试一试，若能两相消，难点解决掉.例题1.【】2.【】3.【】4.【】5.【】解【反三角函数与指数函数的乘积的积分，用分部积分法】问题

7、6如何求有理函数的不定积分？答首先要知道有理函数、假分式、真分式的概念.由于假分式多项式真分式，所以关键是真分式的积分，步骤是：101⑴将在实数范围内分解因式；⑵将表为部分分式之和，其方法是：若有因式，则分解式中含下列项之和，若有因式，则分解式中含下列项之和；⑶用待定系数法求出；⑷求出积分.▲许多函数（如指数有理式，三角有理式，根式有理式等）的积分可以通过换元：，，化为有理函数的积分.例题求.解，去分母得，依次比较上式两边的常数项和一次幂、二次幂、三次幂系数，得，，，，解得，故.▲确定待定系数时，辅之以特殊值法，使计算更快捷，

8、如本题令，立即得.问题7如何求不定积分？101答求不定积分是最基本的运算之一，它是所有积分计算的基础，读者务必熟练掌握三类典型题（凑微分、换元、分部）和常用变形方法（无理化有理，高次化低次，分母化因式，变量化一致）.求不定积分的基本思想是利用凑微分、换元、分部和初等变形，将被