3积分及其应用

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1、不定积分定义1如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f（x），即对任一x∈I，都有或，那末函数F（x）就称为f（x）（或f（x）dx）在区间I上的原函数。定义2在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）在区间I上的不定积分，记作其中记号∫称为积分号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量。性质：可加性数乘性基本积分公式的运用基本积分表一例1解例2解基本积分表二例3解例4解例5解例6解积分方法：一）第一类换元法定理1设f（u）具有原函数，可导，则有换元

2、公式例1解例2解例3解例4例5解例6解例7例8第二类换元法定理2设是单调的、可导的函数，并且，又设具有原函数，则有换元公式其中是的反函数。例9求（）解：设，则由于，故所求积分为注1.第二类换元法一般利用2.基本积分表三例10解利用公式（23）得分部积分法设函数具有连续导数，那末，两个函数积的导数公式为移项，得两边积分例11解令由即例12解：设，，则于是例13解设，则有理函数的积分例14解：因为=例15解：令于是则对于三角有理式的积分用万能公式令则注：有理函数积分的关键在于将有理函数分解成可直接积分

3、的有理函数之和。定积分定积分的定义定义设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点，把区间[a，b]分成n个小区间，各个小区间的长度依次为在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和记，如果不论对[a，b]怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f（x）在区间[a，b]上的定积分（简称积分），记作，即，其中f（x）叫做被积函数，f（x）dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，

4、[a，b]叫做积分区间。性质1和、差2数乘3区间可加性设4保号性若则5保序性若则6定积分中值定理如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点，使下式成立：（）这个公式叫做积分中值公式。定理1设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积。定理2设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在[a，b]上可积。定积分的计算及应用定理1如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数在[a，b]上具有导数，并且它的导数是（）

5、定理2如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则函数就是f（x）在[a，b]上的一个原函数。定理3如果函数F（x）是连续函数f（x）在区间[a，b]上的一个原函数，则例1解例2解定积分换元法定理假设函数f（x）在区间[a，b]上连续，函数满足条件：（1）；（2）（t）在[a，β]（或[β，a]上具有连续导数，且其值域不越出[a，b]），则有（1）公式（1）叫做定积分的换元公式。例1（）解设则当时，，时，于是例2解设则且当时，，当时，于是定积分的分部积分由于故例解令则且当时，，当时，定积分的近似计算

6、分点，，将区间[a，b]分成n个长度相等的小区间，其中1、矩形法2、梯形法公式3、抛物线法公式（辛普森公式）n越大，近似程度就越好！广义积分定义1设函数f（x）在区间[a，+∞]上连续，取b>a，如果极限存在，则称此极限为函数f（x）在无穷区间[a，+∞]上的广义积分，记作，即这时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，函数f（x）在无穷区间[a，+∞]上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分发散，这时记号不再表示数值了。类似地，设函数f（x）在区间[－∞，b]上连续，取a

7、此极限为函数f（x）在无穷区间（－∞，b）上的广义积分，记作，即这时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分发散。设函数f（x）在区间（－∞，+∞）上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f（x）在无穷区间（－∞，+∞）上的广义积分，记作，即这时也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。上述广义积分统称为无穷限的广义积分。例1计算解由（*24）有定义2设函数f（x）在（a，b）上连续，而在点a的右邻域内无界，取ε>0，如果极限存在，则称此极限为函数f（x）在（a，b）上的

8、广义积分，仍然记作，即这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，就称广义积分发散。类似地，设函数f（x）在（a，b）上连续，而在点b的左邻域内无界，取ε>0，如果极限存在，则定义否则，就称广义积分发散。设函数f（x）在[a，b]上除点c（a