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1、第4章连续系统的频域分析信号的正交分解与傅里叶级数信号的频谱傅里叶变换的性质线性非时变系统的频域分析傅里叶变换计算机模拟举例4.1信号的正交分解与傅里叶级数4.1.1信号的正交分解数学上给定条件下的函数可展开为由某种基本函数形式所构成的一组多项式,例如函数的泰勒级数展开式。信号是随时间变化的函数,在一定条件下也可展开成这样一组多项式。这就是信号的分解,用式（4―1）描述:(i,n为整数)（4―1）当上述函数集中任意两个函数φi(t),φj(t)之间,在区间例如,三角函数集｛1,cosΩt,cos2Ωt
2、,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…｝在区间（t0,t0+Ｔ）(式中T=2π/Ω)组成正交函数集,而且是完备的正交函数集。这是因为（ki为与之有关的常量）(4―2)(4―3)即三角函数集满足正交性式（4―2）,因而是正交函数集。其完备性这里不去讨论。对于调幅信号（ω=5Ω）f(t)=A(1+BcosΩ)cosω(4―4)利用三角公式2cosαcosβ=cos(α-β)+cos(α+β)可写为f(t)=Acosωt+½ABcos(ω-Ω)t+½ABcos(ω+Ω)t(4
3、―5)式(4―5)即是信号f(t)在三角函数集上的正交分解。图4.1中绘出了有关信号的波形。图4.1调幅信号及其频谱4.1.2傅里叶级数19世纪初叶,法国数学家吉·傅里叶证明:任何正常的周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。即通常称（4―6）式为傅里叶级数。如果已知f(t),则可通过式(4―7)、(4―8)和(4―9)分别求出an,bn,c的值。(4―6)(4―7)(4―8)(4―9)根据三角函数的运算法则,式(4―6)还可写成式(4―10)。(4―10)(4―11)(4―13
4、)(4―12)式(4―6)还可写为如下形式式中,An=A-n,θn=-θ-n。最后,由欧拉公式,上式可写为(4―14)(4―15)对于式（4―10）,(4―14),同式(4―6)一样,也是傅里叶级数,只是形式不同而已。式(4―6)和(4―10)称为三角函数式傅里叶级数,式（4―14）称为复指数形式的傅里叶级数。由于式（4―14）的数学表示更为简洁,故在后续章节中,这一式子用得更多。4.1.3信号的傅里叶级数正交分解由于傅里叶级数具有正交性及完备性,故任何周期信号均可正交分解成傅里叶级数。这种分解,在对
5、信号进行分析时将会表现出很大的优势。例4―1试将图4.2所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。图4.2方波信号的傅里叶级数解我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,并按式(4―7)、(4―8)、(4―9)分别计算an, bn及c。4.2信号的频谱4.2.1信号频谱上一节我们指出,信号可分解为傅里叶级数,即信号可由系列复数指数函数加权之和构成。一般我们称这里的复数指数函数ejnΩt为n次谐波,在该函数上所加的权为谐波的振幅,nΩ为谐波的角频率,可以说所有的信号均是由系列角频率不同的谐波叠加而成的(角
6、频率可简称为频率）。4.2.2周期信号的频谱以周期性矩形脉冲为例,说明周期信号频谱的特点。设有一幅度为1,脉冲宽度为τ的周期性矩形脉冲,其周期为T,如图4.3所示。根据式（4―6）,可求得其傅里叶系数图4.3矩形脉冲考虑到Ω=2π/T,上式也可以写为根据式（4―16）可写出该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为图4.4画出了T=4τ的周期性矩形脉冲的频谱。由于Fn为实数,相位φn=0,故而没有单独画出其相位频谱。图4.4周期矩形脉冲的频谱（T=4τ）1.频谱的物理意义前面讲过,任何信号均由多次谐
7、波叠加而成,我们通过仪器观察谐波时,只有由三角函数所描述的谐波Akcos(kΩt+φk)才能被观察到,而复指数谐波ckejkΩt是通过数学方法由前者构造而成,它不能直接被观察得到。两者的关系为即有(4―18)2.频带宽度从周期矩形脉冲频谱可以看出,谱线有无限多条。矩形脉冲信号的频带宽度或称信号的带宽,用符号Δf表示,即3.周期信号的功率了解周期信号功率在各次谐波中的分布情况,是信号频谱的一个重要应用。分析信号的功率关系,一般都将信号f(t)看作电压或电流,而考察其在1电阻上所消耗的平均功率,即（4―1
8、9）(4―20)将f(t)表示成傅里叶级数并代入上式可得(4―20)（4―21）4.2.3非周期信号的频谱非周期信号可视为周期足够长的周期信号来处理。因此,我们可以从周期信号的频谱分析来推测非周期信号的频谱。重写周期信号的频谱函数如下:(4―22)(4―23)(4―24)(4―25)现将信号f(t)的傅里叶级数展开式重写如下将式(4―25)代入式(4―26)中,同时将求和号改为积分号,nΩ改为ω,则有(4―26)(4―27)式(4―24)和(4―27)是
