傅里叶变换及其性质.ppt

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1、第2章连续时间傅里叶变换2.1引言2.2周期信号的连续时间傅里叶级数2.3周期信号的频谱2.4非周期信号的连续时间傅里叶变换2.5傅里叶变换的性质2.6周期信号的傅里叶变换2.7连续信号的抽样定理2.8连续系统的频域分析2.1引言LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。2.2周期信号的连续时间傅里叶级数满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:2.2.1指数形式的傅里叶级数周期性方波信号图2.2-1周期矩形脉冲信号2.2.2周期信号频谱的特点图2.2-2周期矩形脉冲信号

2、为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。2.2.3周期信号的频谱周期信号的复振幅一般为nΩ的复函数，因而描述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称为相位频谱。振幅频谱以ω为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱线图；相位频谱以ω为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。若信号的复振幅为nΩ的实函数，其复振幅Fn与变量(nΩ)的关系也可以用一个图绘出。取样函数定义为这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即图2.2-3Sa(x)函数的波形图2.3-4周期矩形脉冲信号的频谱

3、由图2.3-4可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非Ω的谐波分量。第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。当nΩ→∞时，

4、Fn

5、→0。图2.3-5不同τ值时周期矩形信号的频谱(a)τ=T/5;(b)τ=T/10图2.2-6不同T值时周期矩形信号的频谱(a)T=5τ;(b)T=10τ周期矩形

6、脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内，因而，常常将ω=0~这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为或2.3.3周期信号的功率周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号f(t)，无论它是

7、电压信号还是电流信号，其平均功率均为因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(2.1-16))，有2.4非周期信号的连续时间傅里叶变换2.4.1傅里叶变换对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F(jω)，即非周期信号的傅里叶变换可简记为一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对可积，即要求2.4.2非周期信号的频谱函数由非周期信号的傅里叶变换可知:频谱函数F(jω)一般是复函数，可记为习惯上将F(ω)~ω的关系曲线称为

8、非周期信号的幅度频谱(F(ω)并不是幅度!)，而将φ(ω)~ω曲线称为相位频谱，它们都是ω的连续函数。f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:式中：与周期信号的傅里叶级数相类似，F(ω)、φ(ω)与R(ω)、X(ω)相互之间存在下列关系：在f(t)是实函数时：(1)若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数，且为ω的偶函数。(2)若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的

9、形式，即2.4.3典型信号的傅里叶变换例2.4-1图2.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为τ，高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。解门函数gτ(t)可表示为图2.4-1门函数及其频谱(a)门函数；(b)门函数的频谱；(c)幅度谱；(d)相位谱例2.4-2求指数函数f(t)的频谱函数。图2.4-2单边指数函数e-αt及其频谱(a)单边指数函数e-αt;(b)e-αt的幅度谱其振幅频谱及相位频谱分别为解例2.4-3求图2.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。图2.4-3双边指数函数及其频谱(a)双边指数函数；(b)频谱例2.