首次积分与一阶偏.ppt

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1、第6章首次积分与一阶偏微分方程7.1一阶常微分方程组的首次积分从第五章我们知道7.1.1首次积分的定义在变换之下，等价于下面的一阶微分方程组（7.1.3）阶常微分方程在第五章中，已经介绍过方程组（7.1.3）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的一阶微分方程组（7.1.3）的解是很困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（7.1.3）的问题。先看几个例子。例7.1.1求解微分方程组（7.1.4）解将第一式的两端同乘，第二式的

2、两端同乘这个微分方程关于变量t和其中为积分常数。（7.1.5）叫做（7.1.4）的一个首次积分。，然后相加，得到或是可以分离的，因此不难求得其解为（7.1.5）注意首次积分（7.1.5）的左端作为x，y，和t是微分方程组（7.1.4）的解时，才等于常数，因此因为式（7.1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（7.1.5）不足以确定它的解。为了确定（7.1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。将第一式两端同乘，第二式两端同乘，的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当应随解而异。第一式减去第二式，得到即或然后用利用首次积分（7.1.5）和（7.1.6）可以确定（7.1.4）的

3、通解。为此，采用极坐标（7.1.7）亦即积分得其中为积分常数。（7.1.6）由（7.1.5）和（7.1.6）推得或因此我们得到方程组（7.1.4）的通解为解利用方程组的对称性，可得从而得到第一个首次积分。例7.1.2求解微分方程组其中是给定的常数。其中积分常数（1）同样由方程的对称性我们又有由此又得另一个首次积分利用首次积分（1）和（2），将u和v用w表示，之后代入原方程组（7.1.8）的第三式，得到其中积分常数（2）其中常数a，b依赖于常数而常数（3）式（3）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分是积分常数。因为方程组（7.1.8）是三阶的，但是由于在式（4）

4、中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达式。（4）其中所以三个首次积分（1）、（2）和（4）在理论上足以确定它的通解现在考虑一般的阶常微分方程组其中右端函数在内对连续，而且对定义7.1.1设函数在的某个子域内连续，而且对是连续可微的。又设不为常数，（7.1.13）是连续可微的。我们有但沿着微分方程（7.1.3）函数V取常值；在区域G内的任意积分曲线时，有，为（7.1.13）的首次积分。亦即或当这里的常数随积分曲线而定，则称（7.1.14）为微分方程（7.1.13）在区域G内的首次积分。其中C是一个任意常数，有时也称这里的函数对于高阶微分方程（7.1.1），只要做变换

5、（7.1.2），就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。因此，首次积分的定义可以自然地移植到n阶方程（7.1.1）。而其首次积分的一般形式可以写为乘方程的两端，可得然后积分，得到一个首次积分（7.1.15）例如，设二阶微分方程组用一般的，阶常微分方程有个独立的首次积分，如果阶常微分方程组的个独立的首次积分，则可7.1.2首次积分的性质根据首次积分的定义，要判别函数是否是方程组求得求得这个阶常微分方程组的通解。在区域G内的首次积分，需要知道方程组（7.1.13）在G内得所有积分曲线。这在实际应用上是很困难的。下面的定理为我们提供了一个有效的判别方法，解决了判别首次积分的困难。

6、定理7.1.1设函数在区域G内是连续是微分方程（7.1.13）在区域G内的首次积分的充分必要条件是是关于变量的一个恒等式。可微的，而且它不是常数，则（7.1.16）（7.1.17）证明先证必要性设（7.1.16）是方程组（7.1.13）在区域G内的一个首次积分。又设是微分方程组（7.1.13）在区域G内的任一积分曲线。则我们在区间J上有恒等式（7.1.18）两边对x求导，则有或在上恒有等式因为经过区域G内的任意一点都有微分方程（7.1.13）的一条积分曲线亦即恒等式（7.1.17）成立。微分方程组（7.1.13）在区域G内的一个首次积分。证毕。（7.1.19）（7.1.20

7、），所以（7.1.20）也就变成了区域G内的恒等式，再证充分性，设恒等式（7.1.17）成立，则由于上述积分曲线在G内，所以得到恒等式（7.1.20），然后可由（7.1.20）反推到（7.1.18）。这就证明了（7.1.16）是定理7.1.2若已知微分方程（7.1.13）的一个首次积分（7.1.14），则可以把微分方程（7.1.13）降低一阶。证明由定义容易推出首次积分不能都恒等于0，因此，不妨设于是由隐函数定理，由首次积分（7.1.16）解出（7.1.22）的偏导数（7.1.21）而且它有偏导数将（7.1.21）