浅谈积分因子与首次积分

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1、浅谈积分因子与首次积分浅谈积分因子与首次积分摘要：木文先给岀了微分方程屮的积分因子、首次积分以及特征方程的相关定义并加深理解，后引出全微分方程枳分因子存在的充要条件以及与之相关的两类重耍命题，灵活的将用积分因子解微分方程的方法与偏微分方程首次积分联系起來，为求特殊积分因子提供了方便，最后应用性的求岀了常见的儿类微分方程的积分因子.关键词：微分方程；积分因子；首次积分；特征方程；偏微分：合分比Introductiontointegralfactorandthepointsforthefirsttim

2、eChenXueyun(SchoolofMathematicsandStatisties,TianshuiNormalUniversity741000)AbstractThispaperfirstlypresentsthedefinitionoftheintegralfactors,firstintegralindifferentialequationandthecharacteristicequationandleadstothenecessaryandsufficientconditionfo

3、rtheexistenceofal1theintegratingfactorofdifferentialequationaswe11asinconnectionwiththetwoimportanttypesofproposition,Thenitprovidesconveniencesforspecialintegralfactorbycombiningthemethodofintegralfactortosolvedifferentialequationswithpartialdifferen

4、tialequationflexibly,Finallyitfindsouttheintegralfactorofsometypesofdifferentialequationsviaapplication.KeywordsDifferentialequations,Integratingfactor,Forthefirsttimepoints,Characteristicequation,Partialdifferential,pointsthan

5、=

6、录o引言11相关概念11.1积分因子11.

7、2首次积分21.3特征方程（组）22预备知识23问题的引入34有关积分因子存在的充要条件的两类命题54.1命题一54.2命题二75几类常见微分方程的积分因子85.1可分离变量的微分方程85.2齐次微分方程95.3线性微分方程105.4Bomoulli微分方呈106小结12参考文献13致谢14浅谈积分因子与首次积分0引言在微分方程的学习中，微分方程的求解是至关重要的，并冃对于不同类型的微分方程可以给出不同的解法.Euler曾在他的论文小指出：凡是对用分离变量法的地方都可以用积分因子法，这就启示我们要

8、史多的了解和学习积分因子法.而这其中恰当微分方程就可以通过积分的方法求出，但并非所有的微分方程均为恰当微分方程，于是如何将一个非恰当微分方程转化为恰当微分方程，让求具通解变得简单？将是一个很显眼的问题，对此木文就特殊积分因子的求法引进了首次积分法，并加以论证运用.1相关概念1.1积分因子定义1对于下面的一阶方程dyf(x,y)clx现把它写成微分的形式f(x,y)dxdy0或者把x,y平等的处理，写成貝有对称形式的一•阶微分方程，如下(1.1.1)M(x,y)dxN(x,y)dy0,(x,y)D,

9、D为其中M(x,y)和N(x,y)是关于x,y的连续函数且具有连续的一阶偏导数,单连通区域.(x,y)M(x,y)dx(x,y)N(x,y)dy0,为一,恰当微分方程，即存在函数u(x,y),使MdxNdydu(1.1.1)则称(x,y)为方程的积分因子.uudxdy,xyl1.2首次积分定义2对于一般的常微分方程组dyldxfl(x,yl,y2,,yn),dy2f2(x,yl,y2,,yn),(1.2.1)dxdynf(x,y,y,,y).nl2ndx其中，右端函数fl,f2,,fn都在某个域

10、G内连续.设两数(x,yl,y2,,yn)在域G内连续可微，且(x,yl,y2,,yn)const,2,n代)入函数时，使得函数(1.2.1)的任一解yi(x)(i1,如果以方程组的(x,yl(x),y2(x),,yn(x))const(其中const为任意常数),且此常数与x无关，同时此常数值随不同解而杲，(1.2.1)则称表达式二(x,yl,y2,,yn)const为方程的一个首次积分，有时也称(x,yl,y2,,yn)为首次积分.1.3特征方程(组)定义3対丁•一阶齐次线性偏