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1、积分因子的存在条件薛静指导教师:张飞羽(河西学院数学与统计学院2013届2班44号.甘肃张掖734000)摘要采用积分因子法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程的一个重要手段,本文给出寻求微分方程各类积分因子的一些方法,化微分方程为恰当方程求解,这样给解题带来很大方便.关键词积分因子;恰当微分方程;一阶常微分方程中图分类号O175TheExistenceConditionsofIntegratingFactorXuejingInstructorZhangFeiyu（No.44,Class2of2013,SpecialtyofMathematicsandAppliedMathemati
2、cs,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)Abstract:Integratingfactormethodisusedtoconvertingthefirst-orderdifferentialequationtocompletedifferentialequationisanimportantmeansforsolvingdifferentialequations,thispapergivessomemethodsforseekingthedifferentialequationsofintegralfactor,thedifferentialequat
3、ionfortheappropriateequation,sothattobringgreatconvenience.Keywords:Integratingfactor;Exactdifferentialequation;First-orderordinarydifferentialequations一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础,一般的有两种处理方式:一是以变量可分离的方程为基础,通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程;另外就是以全微分方程为基础,采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求解.然而寻找积分因子不是容易的事情,一般的教科书只介绍了依据经验或者通过观
4、察来寻找积分因子.这里我们归纳并概括性的给出了几种积分因子的求法,有助于深刻的理解积分因子的相关内容,进一步学好常微分方程,使得求解一阶微分方程的过程更简便.1恰当微分方程1.1恰当微分方程的概念8我们可以将一阶方程写成微分形式,或更一般地把平等看待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程,(1)其中为单连通区域,.这里假设在某些矩形域内是的连续函数,且具有连续的一阶偏导数.这样的形式有时便于探求微分方程的通解.如果方程的左端恰好是某个二元函数的全微分,即,(2)则称为恰当微分方程.容易验证,方程的通解是,这里是任意常数.1.2恰当微分方程的充要条件必要条件若方程(1)是恰当方程，则由(2)得.
5、(3)将(3)式分别对求偏导数,得到,由于的连续性得：.即(4)因此,(4)式是(1)式为恰当微分方程的必要条件.充分条件我们从关系式出发,把看作参数,解这个微分方程,可以得到,(5)这里是的任意的可微函数,我们现在来选择使同时满足(3)式,即,由此,.(6)我们证明,(6)式的右端与无关.为此,只需证明(6)式的右端对的偏导数恒等于零.事实上8在我们的假设条件下,上述交换求导的顺序是允许的.于是(6)式右端的确只含有,积分之,得到,(7)将(7)式代入(5)式,即求得.因此,恰当微分方程(1)的通解是.(8)这里是任意常数.综上所述,方程(1)是恰当方程的充要条件是2积分因子2.1积分因子
6、的概念恰当微分方程通过积分可以求出它的通解.所以能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程是求出它的通解的重要手段,具有重要的意义.积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念.如果存在连续可微的函数,使得,为一恰当微分方程,即存在函数,使,(9)则称为微分方程(1)的积分因子.这时是(9)式的通解.2.2积分因子存在的充要条件显然由1.2中的论述可知,是方程(1)的积分因子的充要条件是但从这个条件中求出8,事实上要求解一个偏微分方程,比求解方程(1)本身更复杂.因此,需要寻求更简单的积分因子形式.在下面着重讨论方程(1)具有一些特定积分因子的条件.命题1[1]方程(1)有只与有关的积分因子的充要
7、条件是,且方程的一个积分因子为.命题2[1]方程(1)有只与有关的积分因子的充要条件是,且方程的一个积分因子为.以上两结论一般参考书中常见,其证明简单,故略.命题3方程(1)有形如的积分因子的充要条件是,且方程的一个积分因子是.证明令,则,假设为方程(1)的积分因子,则由充要条件,所以,所以,当且仅当时可以解出,故方程有形如的积分因子的充要条件是.推论1方程(1)有形如的积分因子的充要条件是,且积分因子为.推
