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1、浅谈定积分与复积分摘要:积分学是函数论中的重要内容,无论是定积分还是复积分,均是研究函数的重要工具.并且在几何、物理和工程技术上都有着广泛的应用.本文主要从积分的定义,性质,存在条件,计算式的比较以及对称性的比较五个方面讨论了定积分与复积分之间的联系与区别.特别对二者计算式及对称性做了系统的分析总结,并在此基础之上对复积分的性质做了进一步的探究.关键词:定积分;复积分;联系;区别ThedefiniteintegralandcomplexintegralAbstract:Integralcalculusisimportantinfunctiontheory,
2、nomatterdefiniteintegralorcomplexintegral,eitheristheimportanttoolinstudyingthefunction,andithasawiderangeofapplicationingeometry,physisandengineering.thisarticlediscussestherelationandthedifferencebetweenthedefiniteintegralandcomplexintegralinfiveaspects,includingdefinition.chara
3、cterandtheconditionsofexistenceoftheintegral.Especially,itanalysesandsummarizestheformulaandsymmetryofthem,thendiscussesthecharacterandtheconditionsofexistenceofthecomplexintegraldeeply.Keywords:Definiteintegral;Complexintegral;Difference;Relationship0引言积分是高等数学的重点难点之一,积分的种类繁多,求解方法
4、难易悬殊，使用技巧各异,教材中对定积分和复积分做了简单地介绍,尽管如此,我们在面对很多积分时还是无法快速简便地计算.因此,对积分的系统总结及研究是很有必要的.本文的目的主要是通过研究定积分与复积分的联系与区别,让我们深刻系统的了解复积分与定积分的相关理论,并用这些理论来解决数学与其他学科中的各种实际问题.1预备知识1.1连续函数的定义定义1设函数在点的某个邻域中有定义,并且成立则称函数在点处连续,而称是函数的连续点.定义2函数在区间的每一个点连续,则函数在开区间上连续.1.2极限四则运算法则若极限与都存在,则函数当时极限也存在且:..又若则当时极限存在,.
5、1.3柯西积分定理设函数在平面上的单连通区域内解析,则在内的积分与路径无关,即对内任意两点与,积分之值,不依赖内连接起点与的曲线.1.4柯西留数定理设函数在区域内除有限个孤立点外处解析,为14内包含各奇点的一条正确简单的封闭曲线,则:.2定积分与复积分概念及性质的比较2.1概念比较定积分的定义设函数在闭区间上连续.闭区间上有-1个点.依次为它们把分成个闭子区间,并令且设为中任意一点,这里令显然,当时,必有,我们作和,,在微积分中曾证明的值存在,叫做从到的定积分,记做.分别叫做定积分的上限和下限.复积分的定义设复函数在光滑或逐段光滑的简单曲线上有定义,沿从到
6、的方向上依次取分点:,其中在每个弧段上任取一点,作和式其中,设当如果和式的极限存在,且此极限值不依赖的选择,也不依赖分法,就称沿可积,而称此极限值为到方向上的复积分或简称复积分,记为.由定义可以看出,不管是定积分还是复积分在给出积分定义时方法是一样的,都是采用”分割—取点—近似求和—取极限”四步,不同的是,定积分的值只与有关,与积分路径无关,即定积分中由到的积分路径只有一条,且与方向无关.复积分的值不仅与有关,还与积分路径有关,即由与的积分路径存在无数条且有方向.14例1按定积分定义证明.证明对于的任意分割T=,任取=,相应的积分和为,从而取为任意正数,要
7、使就有,根据定积分的定义有.例2计算积分.解由于在上连续,所求积分是存在的,将区间分为个相等的小区间,则,在每个小区间上取左端点作为,即.于是对于,而对于,由于,故显然,如果积分区间不是,而是，则例3令表示连接点到点的任一曲线,试证.证明因为,选,则得,我们又可选,则得,显然在曲线上解析,因此积分存14在,且应与及的极限相等,从而应与的极限相等.令,所以.至此我们了解到,无论是定积分还是复积分均可用定积分对其进行求值计算,然而当被积分函数比较复杂,或者被积函数为复合函数时,利用定义计算过程,难免复杂,我们不禁要问有没有什么简单的方法将被积函数进行化解呢?2
8、.2基本性质的比较首先,我们来回忆定积分的性质.性质1若在上可积,
