一阶隐式方程与解的积分表示

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1、13.4一阶隐式方程与解的积分表示一阶隐式微分方程形式是如果能从（3.4.1）中解出，表达式就是，则可以根据式，采用本章上面几节介绍的方法求解。但如果难于从方程中解出，或即使解出，但其表达式的形式非常复杂，则需(3.4.1)的具体形要采用引进参数的方法将方程变成导数可以解出的类型。2本节介绍的方程包括以下几种类型3.4.1可以解出y或x的方程（1）首先讨论形如的方程的解法。这里假设函数有连续的偏导数。（3.4.2）3做变换则方程（3.4.2）变成将方程（3.4.4）两边对x求导，并以代入，即得方程（3.4.5）是关于x和p的一

2、阶方程，但是已经就导数解出，可以按本章第1至3节介绍的方法求解。（3.4.3）（3.4.4）（3.4.5）4例3.4.1求解方程解解出y,并令，得到两边对x求导，得到两边乘以p，得（3.4.12）5此式可以写成积分之，有解出x,得到将它代入到（3.4.12），得因此方程参数形式的通解为6当p=0时，由（3.4.12）直接推知y=0也是方程的解。例3.4.2求解微分方程解令，得到两边对x求导，得到（3.4.13）7或.从=0得到将它代入到（3.4.13），得到方程的通解又从=0解得以此代入到（3.4.13），得到方程另一个解这是

3、一个奇解。8（2）形如的方程的求解方法与方程（3.4.2）的求解方法完全类似。这里也假定函数有连续的偏导数。令，则方程变成两端对y求导，并以代入，得到（3.4.16）（3.4.14）（3.4.15）9方程（3.4.16）是关于y和p的一阶方程，并且已经就解出，于是可以按本章因此得方程（3.4.14）的通解为（3.4.18）前三节的方法求解。设求得的通解为（3.4.17）10例3.4.3求解微分方程解先将x解出，得再令两边对y求导，并整理得得（3.4.19）令=0，得，代入到（3.4.19），得到方程的一个解11再取解得代入到或

4、写成（3.4.19），得到方程的通解123.4.2不显含y（或x）的方程（3）现在讨论不显含y的、形如的方程的解法。记，则方程变成从几何上看，方程（3.4.21）代表xop平面上的一条曲线，可以把这条曲线表示为适当的参数形式（3.4.22）（3.4.20）（3.4.21）13这里t是参数。另一方面注意到沿方程（3.4.20）的任何一条积分曲线，恒有关系以（3.4.22）代入到上式得（3.4.23）两边积分，得到于是得到方程参数形式的通解其中c为任意常数。14例3.4.4求解微分方程解令则由方程得从而于是积分之，得因此方程的参数

5、形式的通解为15（4）不显含x的、形如的方程的求解。记，则方程变成从几何上看，方程（3.4.25）代表yop平面上的一条曲线，可以把这条曲线表示为适当的参数形式（3.4.26）（3.4.24）（3.4.25）这里t是参数。由关系16得即两边积分，得到于是得到方程参数形式的通解（3.4.27）其中c为任意常数。17例3.4.5求解微分方程解令与原方程联立消去后，有由此得这是原微分方程的参数并且形式。因此有积分之得到18于是求得方程参数形式的通解为消去t,得另外，当时原方程变成也是原方程的解。