一阶隐方程及其解法.doc

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1、2.4一阶隐方程及其解法(Firstorderimplicitdifferentialequationanditssolvingmethods)[教学内容]1.认识一阶隐方程及其类型;2.介绍等时摆和速降线方程;3.介绍求导法求隐方程;4.介绍参数法求隐方程;5.介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程.[教学重难点]重点是会知道何时选用求导法，何时选用参数法，难点是参数法中如何引入合适的参数[教学方法]自学1、5；讲授2、3、4课堂练习[考核目标]1.认识一阶隐方程及其类型;2.会用求导法求解变量x或y可以

2、表出情形下的一阶隐方程;3.会引入合适参数，并用参数法求解一阶隐方程;4.会在求导法和参数法进行适当选择简单的解法;5.会求解简单的函数方程和积分方程.1.认识一阶隐方程形式及其两大类型（1），其中.（2）第一大类：由隐方程可以解出或.例如，.P63例题1;P64例题2.（3）第二大类：隐方程很难解出x或y，但是隐方程中只含有两个量，即或.例如，(这是速降线方程），)（这是等时摆轨道方程）;;.教材P67例题4.2.求导法求解一阶隐方程（1）(a)令再求导得到满足的方程，或得到满足的方程.(b)将代入原方程得到参数形式

3、通解，其中C为任意常数;或将p=p(x)代入原方程后，得到方程的通解y=y(x,C).例39.求解.解：(1)这是可由x和p表出的形式的隐方程，，其中.两边关于x求导得到，.整理得到，,也即.(a)若，则，将其代入原方程得到.于是得到原方程的一个特解.(b)若，则，于是将代入原方程.因此，方程的通解为.(参见教材P65图（2.6)了解特解和通解曲线族联系和初值问题解的存在不唯一性现象)作业32.求解克莱罗方程，其中.作业33.求解.例40.求解.解：(1)由原方程解出.对上述等式两边关于变量x求导得到，.整理得到，.这

4、不是可分离变量型、不是齐次方程、不是线性方程.思考能否化为可分离变量型？齐次方程、线性方程！(a)当时，，由线性方程的常数变易公式得到，.(b)当时，将p=0代入原方程得到，也是方程的一个解.(2)再由和，得到原方程的参数形式的通解为.解法二：(1)当时，解出.运用求导法，两边对y求导得到，，整理得到，，改写原方程为，由常数变易公式得到，将上式代入原方程得到，.于是，所求方程的参数形式通解为,.(2)当p=0时，代入原方程可得，y=0也是方程一个解.3.参数法求解一阶隐方程（1）考察，比如求解.解：令，于是(a)当，解

5、得，于是所求参数形式通解为,y=cost.(b)当时，代入原方程得到，.易验证可知，也是方程的解.例40.教材P67例题4.教材P69例题5.如何寻找合适的参数形式？作业34.教材P69习题1(3)(4)(5)(6).4.化积分方程或函数方程为微分方程来求解例41.（1）已知函数x(t)在R上有定义且存在，且具有性质，求出函数x(t).（2）已知函数f(x)满足，求出函数f(x).（3）求满足的解函数y(t).（4）设y(t)在R上连续且存在，满足性质，求出函数y(t).解：（1）由x(t)的性质知，.现推导x(t)满

6、足的微分方程：，整理得到，这里用到在x=0处可导必连续，即.求解上述微分方程，注意到，即C=0.因此，所求的解为（2）由连续和知，函数f(x)连续，因而可导.对原方程两边关于x求导得到，，结合得到，.因而.再由原积分方程知，，即C=0.因此，所求方程的解为.5.一个比较繁琐例题.例如求解.解法一：现令，于是下面只需定出y和t关系即可..原方程参数形式的特解为,.解法二：解得，对上式两边关于y求导得到，，于是，.原方程参数形式的特解为.