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1、本节将给出在具有一阶连续偏导数的条件下,重积分变量变换公式(定理21.13)的一般证明.§9重积分变量变换公式的证明在上具有一阶连续偏导数,并且若为内边长为h的任一正方形，证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理.引理设变换将平面上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域一对一地变换成平面上的闭域D.又设那么成立关系式的位置无关的常数，与分别表示区域与的面积,是在上的连续模,即其中为的某一顶点,C为与h及在中这里上确界是对所有满足条顶点:而取的.证不妨设正方形四个(图21-44).于是是D内的曲边四边形(图21-45),且是一个闭域,对内任一点记由于其中的边界则映为的边界
2、设点的坐标为在上连续可微,故由多元函数微分中值定理,存在点使得其中位于与之间.下面考虑从平面到平面的线性映照,则其中若由解析几何知道,在映照下,正方形被映照成平行四边形其中分别为由(3)式知的两条边的长分别为的边界为.在映照下的象(图21-45).记这平行四边形为,它其中下面来估计点与点之间的距离.由(2)及(3)式有从而由的定义可得因此与之间的距离记,则由(4)式可见点属于点的闭邻令域会大于四个圆心在的顶点,半径为的圆的面积和四个以的矩形面积之和(图21-46),则的面积不各边为底边,高为的即其中k是与h及在中的位置无关的常数(这是因界,因此和在上也有界).现在来
3、证明引理的结论,即(1)式成立.为此先证明下面的包含关系:事实上,设Z为中的任意一点.我们从平行四边形在有界闭域上具有一阶连为续偏导数,于是它们与它们的一阶偏导数在上有的中心出发,作一射线经过且延伸到无穷.由于函数与在上有界,所以是一有界区域,并且它的边界是按段光滑的封闭曲线.因此所作的射线必与相交于某一点.又由(4)式知道从而因此包含整个线段所以这就证明了包含关系(6)成立.设表示平行四边形中垂直于边的高.下面分两种情形证明(1)式成立.(i)若则非空(图21-46).可以证明此时成立包含关系:事实上,因为,所以的中心的闭邻域由于正方形的中心在映射下的象即为所以由
4、(4)式有从而在映射下的象因此,这与和不相交矛盾,故这就证明了(7)式.由(6)式与(7)式得到又因，所以与不相交.若存在点但那么连结Y和Z的线段必与相交于某一点.由于Y和Z都属于因为平行四边形的面积所以存在使得因此由(5)式及正方形的面积,得到其中常数C不依赖于点与的选取,即与及正方形在的位置无关.这就证明了(1)式成立.(ii)若或,不妨设则因平行四边形的面积等于乘以的长,因此由(5),(6)及(8)式推得其中是由于在上有界.因此即(1)式也成立.这样,对于的各种可能情形都证得了(1)式成立.推论在引理的条件下,成立证因为在有界闭区域上连续,所以在上一致连续,于
5、是从而.所以当时,有由于上式两边与点无关,因此上式对于从而得到注在上述推论中,由于点可为中的任意一点,因此(9)式可改写成当时另一方面,由于,因此由引理:所有的一致地成立.表示在变换T之下,面积微元在点的局部伸缩率.下面给出在具有一阶连续偏导数的一般条件下,二重积分变量变换公式的证明.证由于T是一对一变换,因而在所设条件下的按段光滑的边界曲线变换到D时,其边界曲线也是按段光滑的.在平面上作平行于坐标轴的方格网,它是的一个分割.由变换T,相应地得到平由(10)式看到,与一元函数的导数相仿,函数行列式当充分小时,由(10)式,存在点使得因此这里,M为面上D的一个分割.考
6、虑所有包含在内的方格它们对应D内无公共内点的闭域由于和分别在和上可积，故当时，有在上的一个上界.将它们按下标逐项相加,得到由(11)式中的任意性,上面两式右边部分相等，即得如下变换式成立:注值得注意的是,本节中所有的证明在维空间中形、平行四边形,并把(4)式右边改为(5)式右边改为,这时变换公式对重积分也同样适用.只要用维立方体、平行多面体来代替这里的正方
